Question

（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC的平分線BF交AC于F，過點F作DF∥BC，求證：BD=DF．

（2）如圖2，在△ABC中，∠ABC的平分線BF與∠A CB的平分線CF相交于F，過點F作DE∥BC，交直線AB于點D，交直線AC于點E．那么BD，CE，DE之間存在什么關系 ？并證明這種關系．

（3）如圖3，在△ ABC中，∠ABC的平分線BF與∠ACB的外角平分線CF相交于F，過點F作DE∥BC，交直線AB于點D，交直線AC于點E．那么BD，CE，DE之間存在什么關系？請寫出你的猜想．（不需證明）

Answer 1

（1）證明見解析；（2）BD+CE=DE，證明見解析；（3）BD-CE=DE．

【解析】

試題分析：（1）根據平行線的性質和角平分線定義得出∠DFB=∠CBF，∠ABF=∠CBF，推出∠DFB=∠DBF，根據等角對等邊推出即可；

（2）與（1）證明過程類似，求出BD=DF，EF=CE，即可得出結論；

（3）與（1）證明過程類似，求出BD=DF，EF=CE，即可得出結論．

試題解析：（1）∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF=∠CBF，

∵DF∥BC，

∴∠DFB=∠CBF，

∴∠DFB=∠DBF，

∴BD=DF；

（2）BD+CE=DE，

理由是：∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF=∠CBF，

∵DF∥BC，

∴∠DFB=∠CBF，

∴∠DFB=∠DBF，

∴BD=DF；

同理可證：CE=EF，

∵DE=DF+EF，

∴BD+CE=DE；

（3）BD-CE=DE．

考點：1．等腰三角形的判定與性質；2．平行線的性質．