Question

【題目】如圖，在中，，AD、BD、CD分別平分的外角，內角，外角，以下結論：①；②；③；④，其中正確的結論有__.

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

根據角平分線定義得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC,∠EAC=2∠EAD,∠ACF

=2∠DCF,根據三角形的內角和定理得出∠BAC+ABC+∠ACB=180°,根據三角形

外角性質得出∠ACF=∠ABC+∠BAC,∠EAC=∠ABC+∠ACB,根據已知結論逐步推理

即可判斷各項

①∵AD平分△ABC的外角∠EAC，

∴∠EAD=∠DAC，

∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，

∴∠EAD=∠ABC，

∴AD∥BC，

故①正確。

②由(1)可知AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠ABC=2∠ADB，

∵∠ABC=∠ACB，

∴∠ACB=2∠ADB，

故②錯誤。

③在△ADC中,∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，

∵CD平分△ABC的外角∠ACF，

∴∠ACD=∠DCF

∵AD∥BC，

∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB

∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，

∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，

∴∠ADC+∠ABD=90°

故③正確；

∵BD平分∠ABC,

∴∠ABD=∠DBC,

∵∠ADB=∠DBC,

∴∠ADB=∠DBC,

∵∠DCF=90°- ∠ABC=90°-∠BDC=∠DBC+∠BDC

∵∠ABC=90°-∠BDC=∠DBC+∠BDC,

∴∠BDC=90°-2∠DBC,

∠DBC=45°-∠BDC,④正確

故選:①③④.