Question

【題目】如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底邊BC的垂直平分線和BC所在的直線建立平面直角坐標系，拋物線 y=﹣ x2+ x+4經過A、B兩點．

（1）求出點A、點B的坐標；
（2）若在線段AB上方的拋物線有一動點P，過點P作直線l⊥x軸交AB于點Q，設點P的橫坐標為t（0＜t＜8），求△ABP的面積S與t的函數關系式，并求出△ABP的最大面積；
（3）在（2）的條件下，是否存在一點P，使S△APB= S△ABC？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當x=0時，y=4，

∴B（0，4），

當y=0時，﹣ x2+ x+4=0，

解得：x=8或﹣1，

∴A（8，0）

（2）

解：設AB的解析式為：y=kx+b，

把A（8，0），B（0，4）代入得： ，

解得： ，

∴AB的解析式為：y=﹣ x+4，

∴Q（t，﹣ t+4），P（t，﹣ t2+ t+4），

∴PQ=（﹣ t2+ t+4）﹣（﹣ t+4）=﹣ t2+4t，

∴S= PQOA= （﹣ t2+4t）×8=﹣2t2+16t=﹣2（t﹣4）2+32，

∵0＜t＜8，

∴當t=4時，S有最大值為32，

即△ABP的最大面積為32

（3）

解：存在，

∵OA是BC的垂直平分線，

∴OB=OC=4，

∵OA=8，

∴S△ABC= BCOA= ×8×8=32，

∵S△APB= S△ABC，

∴﹣2t2+16t= ，

t2﹣8t=﹣12，

t2﹣8t+12=0，

（t﹣2）（t﹣6）=0，

解得：t=2或6，

當t=2時，y=﹣ ×22+ ×2+4=9，

當t=6時，y=﹣ ×62+ ×6+4=7，

∴點P的坐標為（2，9）或（6，7）

【解析】（1）分別將x=0和y=0代入可求得點A與B的坐標；（2）先求直線AB的解析式，表示點P和Q的坐標及PQ的長，根據△ABP的面積=鉛直高度PQ×水平寬度OA，代入計算可求得S與t的函數關系式，配方可求其最大面積；（3）根據（2）中求得的解析式代入S△APB= S△ABC ， 求出x的值，代入拋物線中求得對應的y值，則得出點P的坐標．
【考點精析】掌握二次函數的圖象和二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．