Question

【題目】如圖1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點E是BC邊上一點，∠DEF=45°且角的兩邊分別與邊AB，射線CA交于點P，Q．

（1）如圖2，若點E為BC中點，將∠DEF繞著點E逆時針旋轉，DE與邊AB交于點P，EF與CA的延長線交于點Q．設BP為x，CQ為y，試求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）如圖3，點E在邊BC上沿B到C的方向運動（不與B，C重合），且DE始終經過點A，EF與邊AC交于Q點．探究：在∠DEF運動過程中，△AEQ能否構成等腰三角形，若能，求出BE的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠BAC=90°，AB=AC=2，

∴∠B=∠C， ．

又∵∠FEB=∠FED+∠DEB=∠EQC+∠C，∠DEF=∠C，

∴∠DEB=∠EQC，

∴△BPE∽△CEQ，

∴ ．

設BP為x，CQ為y，

∴ ．

∴ ，自變量x的取值范圍是0＜x＜1

（2）

解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AQE＞∠C，

∴∠AQE＞∠AEF．

∴AE≠AQ．

當AE=EQ時，

∴∠EAQ=∠EQA，

∵∠AEQ=45°，

∴∠EAQ=∠EQA=67.5°，

∵∠BAC=90°，∠C=45，

∴∠BAE=∠QEC=22.5°．

∵在△ABE和△ECQ中，

，

∴△ABE≌ECQ（AAS）．

∴CE=AB=2．

∴BE=BC﹣EC= ；

當AQ=EQ時，可知∠QAE=∠QEA=45°，

∴AE⊥BC．

∴點E是BC的中點．

∴BE= ．

綜上，在∠DEF運動過程中，△AEQ能成等腰三角形，此時BE的長為 或

【解析】（1）根據條件由勾股定理可以求出BC的值，再求出∠DEB=∠EQC，就可以得出△BPE∽△CEQ，由相似三角形的性質就可以得出結論；（2）由∠AEF=∠B=∠C，且∠AQE＞∠C可以得出∠AQE＞∠AEF．從而有AE≠AQ，再分類討論，當AE=EQ時和AQ=EQ時根據等腰三角形的性質和全等三角形的性質就可以求出BE的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解全等三角形的性質的相關知識，掌握全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等，以及對勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．