Question

【題目】【問題提出】
學習了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”的情形進行研究．
【初步思考】
我們不妨將問題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對∠B進行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究．

【深入探究】
第一種情況：當∠B是直角時，△ABC≌△DEF．
（1）如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據 ， 可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二種情況：當∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF．
（2）如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF．
第三種情況：當∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請你用尺規在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不寫作法，保留作圖痕跡）
（4）∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF？請直接寫出結論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若 ， 則△ABC≌△DEF．

Answer 1

【答案】
（1）HL
（2）

證明：如圖②，過點C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點F作FH⊥DE交DE的延長線于H，

∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是鈍角，

∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠DEF，

即∠CBG=∠FEH，

在△CBG和△FEH中，

，

∴△CBG≌△FEH（AAS），

∴CG=FH，

在Rt△ACG和Rt△DFH中，

，

∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），

∴∠A=∠D，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（AAS）；

（3）

解：如圖③中，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，

△DEF和△ABC不全等；

（4）∠B≥∠A
【解析】（1.）解：如圖①，
∵∠B=∠E=90°，
∴在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
故答案為：HL；
（4.）解：由圖③可知，∠A=∠CDA=∠B+∠BCD，
∴∠A＞∠B，
∴當∠B≥∠A時，△ABC就唯一確定了，
則△ABC≌△DEF．
故答案為：∠B≥∠A．
（1）直接利用HL定理得出Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）首先得出△CBG≌△FEH（AAS），則CG=FH，進而得出Rt△ACG≌Rt△DFH，再求出△ABC≌△DEF；（3）利用已知圖形再做一個鈍角三角形即可得出答案；（4）利用（3）中方法可得出當∠B≥∠A時，則△ABC≌△DEF．