Question

【題目】如圖，以AB為直徑的⊙O是△ADC的外接圓，過點O作PO⊥AB，交AC于點E，PC的延長線交AB的延長線于點F，∠PEC=∠PCE．
（1）求證：FC為⊙O的切線；
（2）若△ADC是邊長為a的等邊三角形，求AB的長．（用含a的代數式表示）

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC．

∵OA=OC（⊙O的半徑），

∴∠EAO=∠ECO（等邊對等角）．

∵PO⊥AB，∴∠EAO+∠AEO=90°（直角三角形中的兩個銳角互余）．

∵∠PEC=∠PCE（已知），∠PEC=∠AEO（對頂角相等）

∴∠AEO=∠PCE（等量代換），

∴∠PCO=∠ECO+∠PCE=∠EAO+∠AEO=90°．即OC⊥FC，

∵點C在⊙O上，

∴FC為⊙O的切線

（2）解：連接BC．

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．

∵△ADC是邊長為a的等邊三角形，

∴∠ABC=∠D=60°，AC=a．

在Rt△ACB中，∵sin∠ABC=

∴AB= = a．

【解析】（1）連接OC．欲證FC為⊙O的切線，只需證明OC⊥FC即可；（2）連接BC．由等邊三角形的性質、“同弧所對的圓周角相等”推知∠ABC=∠ADC=60°；然后在直角△ABC中利用正弦三角函數的定義來求AB線段的長度．
【考點精析】掌握等邊三角形的性質和切線的判定定理是解答本題的根本，需要知道等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．