Question

【題目】如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=﹣x2+mx+n的圖象經過點A（3，0），B（m，m+1），且與y軸相交于點C．

（1）求這個二次函數的解析式并寫出其圖象頂點D的坐標；

（2）求∠CAD的正弦值；

（3）設點P在線段DC的延長線上，且∠PAO=∠CAD，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，頂點D（1，4）；（2）；（3）（，），（﹣6，﹣3）．

【解析】

試題分析：（1）根據二次函數y=﹣x2+mx+n的圖象經過點A（3，0），B（m，m+1），求得m和n的值即可；

（2）根據A，C，D三點的坐標，求得CD=，AC=，AD=，得到CD2+AC2=AD2，根據勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，據此求得∠CAD的正弦值；

（3）先求得直線CD為y=x+3，再設點P的坐標為（a，a+3），然后分兩種情況進行討論：當點P在x軸上方時，過點P作PE⊥x軸于E；當點P在x軸下方時，過點P作PF⊥x軸于F，分別判定△ACD∽△AEP，△ACD∽△AFP，列出比例式求得a的值即可．

試題解析：（1）∵二次函數y=﹣x2+mx+n的圖象經過點A（3，0），B（m，m+1），∴，解得：，∴二次函數的解析式為：y=﹣x2+2x+3，頂點D的坐標為（1，4）；

（2）如圖所示，在y=﹣x2+2x+3中，當x=0時，y=3，∴C（0，3）．

∵A（3，0），D（1，4），∴CD=，AC=，AD=，∴CD2+AC2=AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，∴sin∠ACD==；

（3）∵直線CD經過C（0，3），D（1，4），∴設可設直線CD為y=kx+b，則

，解得：，∴直線CD為y=x+3，設點P的坐標為（a，a+3），①如圖所示，當點P在x軸上方時，過點P作PE⊥x軸于E，則

PE=a+3，AE=3﹣a，∵∠AEP=∠ACD=90°，∠PAO=∠CAD，∴△ACD∽△AEP，∴，即，解得a=，∴a+3=，∴此時P的坐標為（，）；

②如圖所示，當點P在x軸下方時，過點P作PF⊥x軸于F，則

PF=﹣（a+3），AF=3﹣a，∵∠AFP=∠ACD=90°，∠PAO=∠CAD，∴△ACD∽△AFP，∴，即，解得a=﹣6，∴a+3=﹣3，∴此時P的坐標為（﹣6，﹣3）；

綜上所述，點P的坐標為（，），（﹣6，﹣3）．