Question

（2012•南寧）已知點A（3，4），點B為直線x=-1上的動點，設B（-1，y）．
（1）如圖1，若點C（x，0）且-1＜x＜3，BC⊥AC，求y與x之間的函數關系式；
（2）在（1）的條件下，y是否有最大值？若有，請求出最大值；若沒有，請說明理由；
（3）如圖2，當點B的坐標為（-1，1）時，在x軸上另取兩點E，F，且EF=1．線段EF在x軸上平移，線段EF平移至何處時，四邊形ABEF的周長最小？求出此時點E的坐標．

Answer 1

分析：（1）過點A作AE⊥x軸于點E，先證明△BCD∽△CAE，再根據相似三角形對應邊成比例即可求出y與x之間的函數關系式；
（2）先運用配方法將y=-

1

4

x²+

1

2

x+

3

4

寫成頂點式，再根據自變量x的取值范圍即可求解；
（3）欲使四邊形ABEF的周長最小，由于線段AB與EF是定長，所以只需BE+AF最小．為此，先確定點E、F的位置：過點A作x軸的平行線，并且在這條平行線上截取線段AA′，使AA′=1，作點B關于x軸的對稱點B′，連接A′B′，交x軸于點E，在x軸上截取線段EF=1，則點E、F的位置確定．再根據待定系數法求出直線A′B′的解析式，然后令y=0，即可求出點E的橫坐標，進而得出點E的坐標．

解答：解：（1）如圖1，過點A作AE⊥x軸于點E．
在△BCD與△CAE中，
∵∠BCD=∠CAE=90°-∠ACE，∠BDC=∠CEA=90°，
∴△BCD∽△CAE，
∴BD：CE=CD：AE，
∵A（3，4），B（-1，y），C（x，0）且-1＜x＜3，
∴y：（3-x）=（x+1）：4，
∴y=-

1

4

x²+

1

2

x+

3

4

（-1＜x＜3）；

（2）y有最大值．理由如下：
∵y=-

1

4

x²+

1

2

x+

3

4

=-

1

4

（x²-2x）+

3

4

=-

1

4

（x-1）²+1，
又∵-1＜x＜3，
∴當x=1時，y有最大值1；

（3）如圖2，過點A作x軸的平行線，并且在這條平行線上截取線段AA′，使AA′=1，作點B關于x軸的對稱點B′，連接A′B′，交x軸于點E，在x軸上截取線段EF=1，則此時四邊形ABEF的周長最小．
∵A（3，4），∴A′（2，4），
∵B（-1，1），∴B′（-1，-1）．
設直線A′B′的解析式為y=kx+b，
則

2k+b=4 -k+b=-1

，
解得

k= 5 3 b= 2 3

．
∴直線A′B′的解析式為y=

5

3

x+

2

3

，
當y=0時，

5

3

x+

2

3

=0，解得x=-

2

5

．
故線段EF平移至如圖2所示位置時，四邊形ABEF的周長最小，此時點E的坐標為（-

2

5

，0）．

點評：本題考查了相似三角形的性質與判定，待定系數法求一次函數的解析式，軸對稱-最短路線問題，綜合性較強，有一定難度．（1）中通過作輔助線證明△BCD∽△CAE是解題的關鍵，（3）中根據“兩點之間，線段最短”確定點E、F的位置是關鍵，也是難點．