Question

【題目】某水產養殖戶進行小龍蝦養殖．已知每千克小龍蝦養殖成本為6元，在整個銷售旺季的80天里，銷售單價p(元/千克)與時間第t(天)之間的函數關系為：

p＝，日銷售量y(千克)與時間第t(天)之間的函數關系如圖所示．

(1)求日銷售量y與時間t的函數解析式；

(2)哪一天的日銷售利潤最大？最大利潤是多少？

(3)該養殖戶有多少天日銷售利潤不低于2 400元？

(4)在實際銷售的前40天中，該養殖戶決定每銷售1千克小龍蝦，就捐贈m(m＜7)元給村里的特困戶．在這前40天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝－2t＋200(1≤t≤80，t為整數)；（2）第30天的日銷售利潤最大，最大利潤為2 450元；（3）共有21天符合條件（4）＜m＜7.

【解析】

試題（1）根據函數圖象，利用待定系數法求解可得；

（2）設日銷售利潤為w，分1≤t≤40和41≤t≤80兩種情況，根據“總利潤=每千克利潤×銷售量”列出函數解析式，由二次函數的性質分別求得最值即可判斷；

（3）求出w=2400時x的值，結合函數圖象即可得出答案；

（4）依據（2）中相等關系列出函數解析式，確定其對稱軸，由1≤t≤40且銷售利潤隨時間t的增大而增大，結合二次函數的性質可得答案．

試題解析：（1）設解析式為y=kt+b，將（1，198）、（80，40）代入，得：，解得：，∴y=﹣2t+200（1≤x≤80，t為整數）；

（2）設日銷售利潤為w，則w=（p﹣6）y，①當1≤t≤40時，w=（t+16﹣6）（﹣2t+200）=﹣（t﹣30）2+2450，∴當t=30時，w最大=2450；

②當41≤t≤80時，w=（﹣t+46﹣6）（﹣2t+200）=（t﹣90）2﹣100，∴當t=41時，w最大=2301，∵2450＞2301，∴第30天的日銷售利潤最大，最大利潤為2450元．

（3）由（2）得：當1≤t≤40時，w=﹣（t﹣30）2+2450，令w=2400，即﹣（t﹣30）2+2450=2400，解得：t1=20、t2=40，由函數w=﹣（t﹣30）2+2450圖象可知，當20≤t≤40時，日銷售利潤不低于2400元，而當41≤t≤80時，w最大=2301＜2400，∴t的取值范圍是20≤t≤40，∴共有21天符合條件．

（4）設日銷售利潤為w，根據題意，得：

w=（t+16﹣6﹣m）（﹣2t+200）=﹣t2+（30+2m）t+2000﹣200m，其函數圖象的對稱軸為t=2m+30，∵w隨t的增大而增大，且1≤t≤40，∴由二次函數的圖象及其性質可知2m+30≥40，解得：m≥5，又m＜7，∴5≤m＜7．