Question

【題目】已知：如圖所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分別過點B、C作經過點A的直線L的垂線段BD、CE，垂足分別D、E．
（1）求證：DE=BD+CE．
（2）如果過點A的直線經過∠BAC的內部，那么上述結論還成立嗎？請給出你的結論，并畫出圖形予以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°，

∵BD⊥l，CE⊥l，

∴∠ADB=∠CEA=90°，

∴∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠ABD=∠CAE．

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴BD=AE，AD=CE，

∵AD+AE=DE，

∴BD+CE=DE；

（2）解：上述結論不成立．

如圖所示，BD=DE+CE．

證明：∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°，

∵BD⊥l，CE⊥l，

∴∠ADB=∠CEA=90°，

∴∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠ABD=∠CAE．

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴BD=AE，AD=CE，

∵AD+DE=AE，

∴BD=DE+CE．

如圖所示，CE=DE+BD，

證明：證明：∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°，

∵BD⊥l，CE⊥l，

∴∠ADB=∠CEA=90°，

∴∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠ABD=∠CAE．

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴BD=AE，AD=CE，

∵AE+DE=AD，

∴CE=DE+BD．

【解析】（1）由垂線的定義和角的互余關系得出∠BDA=∠CEA=90°，∠ABD=∠CAE，由AAS證明△ABD≌△CAE，得出對應邊相等BD=AE，AD=CE，由AD+AE=DE，即可得出結論；（2）由垂線的定義和角的互余關系得出∠ADB=∠CEA=90°，∠ABD=∠CAE，由AAS證明△ABD≌△CAE，得出對應邊相等BD=AE，AD=CE，由AE、DE、AD之間的和差關系，即可得出結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°)．