Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，連接AC，過(guò)上一點(diǎn)E作EG∥AC交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接AE交CD于點(diǎn)F，且EG=FG．

（1）求證：EG是⊙O的切線；

（2）延長(zhǎng)AB交GE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，若AH=2，，求OM的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）連接OE，如圖，通過(guò)證明∠GEA+∠OEA=90°得到OE⊥GE，然后根據(jù)切線的判定定理得到EG是⊙O的切線；

（2）連接OC，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r，OH=r-2，利用勾股定理得到，解得r=3，然后證明Rt△OEM∽Rt△CHA，再利用相似比計(jì)算OM的長(zhǎng)．

（1）證明：連接OE，如圖，

∵GE=GF，

∴∠GEF=∠GFE，

而∠GFE=∠AFH，

∴∠GEF=∠AFH，

∵AB⊥CD，

∴∠OAF+∠AFH=90°，

∴∠GEA+∠OAF=90°，

∵OA=OE，

∴∠OEA=∠OAF，

∴∠GEA+∠OEA=90°，即∠GEO=90°，

∴OE⊥GE，

∴EG是⊙O的切線；

（2）解：連接OC，如圖，

設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r，OH=r-2，

在Rt△OCH中，，

解得r=3，

在Rt△ACH中，AC= ，

∵AC∥GE，

∴∠M=∠CAH，

∴Rt△OEM∽Rt△CHA，

∴ ，

即，

解得：OM=．