Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點．直線交軸于點，交軸于點，，垂足為，交軸負半軸于點，且點坐標為．

（1）求直線的解析式；

（2）點為直線右側第一象限內一點，連接、，將線段繞點順時針旋轉90°，得到線段，點落在點處，設點的坐標為，求點的坐標（用含的式子表示）；

（3）在（2）的條件下，過點作垂直于軸于點，交于點，連接，點為延長線上一點，連接，交于點，連接，若，，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x+2；；（2）Q（-m2+m，4-m）；（3）P（，）．

【解析】

（1）由已知可得∠DAO=45°，進而得到AD直線的k=1，將點A（-2，0）代入即可；

（2）過點P作x軸、y軸垂線，相交于點M，過點Q作y軸垂線，交于點N，由已知條件可證明△CQN≌△DMP（AAS），所以有QN=MP，CM=CN，即可求Q點坐標；

（3）由題意可求G（m，4-m），因此GQ與y軸垂直，由QG=GF，可求F（m，4-m-m2），求出CF所在直線解析式為y=-（1+m）x+4，確定點E（，4-m）；過點E作ET垂直x軸，過點G作GS垂直PH，交PB于點S，可證明△ETB≌△HBP（HL），由平行的性質和等腰直角三角形的性質可知∠EGB=∠PGB=90°+45°=135°，得到△EGB≌△PGB（AAS），故有EG=PG，將點的坐標代入有m-=-m2+m+4-（4-m），求出m即可．

解：（1）由題意可知B（4，0），C（0，4），

∴CO=BO，

∴∠CBO=45°，

∵AD⊥BC，

∴∠DAO=45°，

∵A（-2，0），

∴AD的直線解析式為y=x+2；

（2）如圖，過點P作x軸、y軸垂線，相交于點M，過點Q作y軸垂線，交于點N，

∵∠PCQ=90°，∠MCN=90°，

∴∠MCP=∠NCQ，

∵CP=CQ，∠CNQ=∠CMP=90°，

∴△CQN≌△DMP（AAS），

∴QN=MP，CM=CN

∵P的坐標為（m，-m2+m+4），

∴CM=m，MP=4-（-m2+m+4）=m2-m，

∴Q（-m2+m，4-m）；

（3）如圖，

∵PH垂直于x軸，

∴G點橫坐標為m，

∵G點在直線BC上，

∴G（m，4-m），

∵QG=GF，

∴m2=4-m-yF，

∴F（m，4-m-m2）

∴CF所在直線解析式為y=-（1+m）x+4，

∴E（，4-m），

過點E作ET垂直x軸，過點G作GS垂直PH，交PB于點S，

∴ET=4-m，HB=4-m，

∴ET=HB，

∵BE=BP，

∴△ETB≌△HBP（HL），

∴∠EBT=∠BPH，

∵QG∥OB，

∴∠EBT=∠GEB，

∴∠GEB=∠BPG，
∠EGB=∠PGB=90°+45°=135°，

∴△EGB≌△PGB（AAS），

∴EG=PG，

∴m-=-m2+m+4-（4-m），

∴m=±，

∵P為直線BC右側第一象限內一點，

∴m=，

∴P（，）．