Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，⊙O為△ABC的內切圓．
（1）求⊙O的半徑；
（2）點P從點B沿邊BA向點A以1cm/s的速度勻速運動，以P為圓心，PB長為半徑作圓，設點P運動的時間為t s，若⊙P與⊙O相切，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，設⊙O與AB、BC、CA的切點分別為D、E、F，連接OD、OE、OF，

則AD=AF，BD=BE，CE=CF．

∵⊙O為△ABC的內切圓，

∴OF⊥AC，OE⊥BC，即∠OFC=∠OEC=90°．

∵∠C=90°，

∴四邊形CEOF是矩形，

∵OE=OF，

∴四邊形CEOF是正方形．

設⊙O的半徑為rcm，則FC=EC=OE=rcm，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，

∴AB= =5cm．

∵AD=AF=AC﹣FC=4﹣r，BD=BE=BC﹣EC=3﹣r，

∴4﹣r+3﹣r=5，

解得 r=1，即⊙O的半徑為1cm．

（2）解：如圖2，過點P作PG⊥BC，垂足為G．

∵∠PGB=∠C=90°，

∴PG∥AC．

∴△PBG∽△ABC，

∴ ．

∵BP=t，

∴PG= = ，BG= = ．

若⊙P與⊙O相切，則可分為兩種情況，⊙P與⊙O外切，⊙P與⊙O內切．

①當⊙P與⊙O外切時，

如圖3，連接OP，則OP=1+t，過點P作PH⊥OE，垂足為H．

∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°，

∴四邊形PHEG是矩形，

∴HE=PG，PH=GE，

∴OH=OE﹣HE=1﹣ ，PH=GE=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣ =2﹣ ．

在Rt△OPH中，

由勾股定理， ，

解得 t= ．

②當⊙P與⊙O內切時，

如圖4，連接OP，則OP=t﹣1，過點O作OM⊥PG，垂足為M．

∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°，

∴四邊形OEGM是矩形，

∴MG=OE，OM=EG，

∴PM=PG﹣MG= ，

OM=EG=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣ =2﹣ ，

在Rt△OPM中，

由勾股定理， ，

解得 t=2．

綜上所述，⊙P與⊙O相切時，t= s或t=2s．

另解：外切時，OP2=OD2+DP2．內切時，（t﹣1）2=12的平方加（t﹣2）2．

【解析】（1）求圓的半徑，因為相切，我們通常連接切點和圓心，設出半徑，再利用圓的性質和直角三角形性質表示其中關系，得到方程，求解即得半徑．（2）考慮兩圓相切，且一圓已固定，一般就有兩種情形，外切與內切．所以我們要分別討論，當外切時，圓心距等于兩圓半徑的和；當內切時，圓心距等于大圓與小圓半徑的差．分別作垂線構造直角三角形，類似（1）通過表示邊長之間的關系列方程，易得t的值．