Question

【題目】如圖,平面直角坐標系xoy中,拋物線y=a(x+1)(x-9)經過A,B兩點,四邊形OABC

矩形,已知點A坐標為(0,6)。

(1) 求拋物線解析式；

(2) 點E在線段AC上移動(不與C重合),過點E作EF⊥BE,交x軸于點F.請判斷的值是否變化；若不變,求出它的值；若變化，請說明理由。

（3）在(2)的條件下,若E在直線AC上移動,當點E關于直線BF的對稱點在拋物線對稱軸上時,請求出BE的長度。

Answer 1

【答案】（1） （2）不變 （3）

【解析】分析(1) 將代入即可求解;(2)由△BDE∽△EGF，得出，由點A的坐標及對稱軸直線x=4推出點B坐標，從而求解;(3) 過點E′作PQ∥x,易證△FPE′∽△BQE′，得出FP=3，利用CQ=3, BQ=9，求出BE即可得出結果.

（1）將代入，得：

∴拋物線解析式為

（2）的值不變.

如圖，過點E作DG⊥AB交AB于點D，交軸于點G

∵四邊形OABC為矩形, ∴DG⊥OC , BD=GC

由BE⊥EF, 易證△BDE∽△EGF, 得：, 即.

由，拋物線對稱軸為直線，得, 即OC=6.

易知， ∴.

（3）如圖，過點E′作PQ∥x，FP⊥PQ, CQ⊥PQ.

易證△FPE′∽△BQE′.

可知QE′=4, ∴FP=3. 則CQ=3, BQ=9

∴BE=BE′=.