Question

【題目】如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F

(1) 說明BE＝CF的理由

(2) 如果AB＝a，AC＝b，求AE、BE的長

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AE＝，BE＝

【解析】試題分析：（1）連接DB、DC，先由角平分線的性質就可以得出DE=DF，再證明△DBE≌△DCF就可以得出結論；

（2）由條件可以得出△ADE≌△ADF就可以得出AE=AF，進而就可以求出結論．

試題解析：解：（1）連接DB、DC．∵DG⊥BC且平分BC，∴DB=DC．

∵AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠AED=∠BED=∠ACD=∠DCF=90°．在Rt△DBE和Rt△DCF中，∵DB=DC，DE=DF，∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），∴BE=CF．

（2）在Rt△ADE和Rt△ADF中，∵AD=AD，DE=DF，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE=AF．∵AC+CF=AF，∴AE=AC+CF．

∵AE=AB﹣BE，∴AC+CF=AB﹣BE．

∵AB=a，AC=b，∴b+BE=a﹣BE，∴BE=，∴AE=a﹣=．

答：AE=，BE=．