Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，A（a，0），B（0，2）

（1）點（k+1，2k﹣5）關于x軸的對稱點在第一象限，a為實數k的范圍內的最大整數，求A點的坐標及△AOB的面積；

（2）在（1）的條件下如圖1，點P是第一象限內的點，且△ABP是以AB為腰的等腰直角三角形，請直接寫出P點坐標；

（3）在（1）的條件下，如圖2，以AB、OB的作等邊△ABC和等邊△OBD，連接AD、OC交于E點，連接BE．

①求證：EB平分∠CED；

②M點是y軸上一動點，求AM+CM最小時點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）A（2，0），S△AOB＝2；（2）P點坐標為（2+2，2）或（2，2+2）；（3）①詳見解析；②M（0，）．

【解析】

（1）根據點在第四象限內，得出不等式，進而求出k的范圍，進而求出點A坐標，最后用三角形面積公式即可得出結論；

（2）分兩種情況：構造全等三角形求出PF和AF，即可求出點P坐標；

（3）①先判斷出△ABD≌△CBO（SAS），進而得出S△ABD＝S△CBO，AD＝OC，即可得出BM＝BN，最后用角平分線的判定定理即可得出結論；

②根據含30度角的直角三角形的性質求出線段的長，進而求出點C坐標，求出直線A'C的解析式，即可得出結論．

解：（1）∵點（k+1，2k﹣5）關于x軸的對稱點在第一象限，

∴點（k+1，2k﹣5）在第四象限，

∴k+1＞0，2k﹣5＜0，

∴﹣1＜k＜2.5，

∵a為實數k的范圍內的最大整數，

∴a＝2，

∵A（a，0），

∴A（2，0），

∴OA＝2，

∵B（0，2），

∴OB＝2，

∴S△AOB＝OAOB＝×＝2；

（2）如圖1，

∵點P是第一象限內的點，且△ABP是以AB為腰的等腰直角三角形，

∴①當∠BAP＝90°時，AB＝AP，

過點P作PF⊥OA于F，

∴∠PAF+∠APF＝90°，

∵∠BAP＝90°，

∴∠PAF+∠BAO＝90°，

∴∠APF＝∠BAO，

∵AB＝AP，

∴△OAB≌△FPA（AAS），

∴PF＝OA＝2，AF＝OB＝2，

∴OF＝OA+AF＝2+2，

∴P（2+2，2），

②當∠ABP＝90°時，同①的方法得，P'（2，2+2），

即：P點坐標為（2+2，2）或（2，2+2）；

（3）①如圖2，

∵△OBD和△ABC都是等邊三角形，

∴BD＝OB，AB＝BC，∠OBD＝∠ABC＝60°，

∴∠ABD＝∠CBO，

在△ABD和△CBO中，，

∴△ABD≌△CBO（SAS），

∴S△ABD＝S△CBO，AD＝OC，

過點B作BM⊥AD于M，BN⊥OC于N，

∴BM＝BN，

∵BM⊥AD，BN⊥OC，

∴BE是∠CED的角平分線；

②如圖3，

作點A關于y軸的對稱點A'，

∵A（2，0），

∴A'（﹣2，0），

連接A'C交y軸于M，

過點C作CH⊥OA于H，

在Rt△AOB中，OA＝2，OB＝2，

∴AB＝4，tan∠OAB＝＝＝，

∴∠OAB＝60°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AC＝AB＝4，∠BAC＝60°，

∴∠CAH＝60°，

在Rt△ACH中，∠ACH＝90°﹣∠CAH＝30°，

∴AH＝2，CH＝2，

∴OH＝OA+AH＝4，

∴點C（4，2），

∵A'（﹣2，0），

∴直線A'C的解析式為y＝x+，

∴M（0，）．