Question

【題目】如圖1，將菱形紙片AB（E）CD（F）沿對角線BD（EF）剪開，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD與△ECF疊放在一起．

（1）操作：如圖2，將△ECF的頂點F固定在△ABD的BD邊上的中點處，△ECF繞點F在BD邊上方左右旋轉，設旋轉時FC交BA于點H（H點不與B點重合），FE交DA于點G（G點不與D點重合）．

求證：BHGD=BF2

（2）操作：如圖3，△ECF的頂點F在△ABD的BD邊上滑動（F點不與B、D點重合），且CF始終經過點A，過點A作AG∥CE，交FE于點G，連接DG．

探究：FD+DG= ．請予證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）BD

【解析】

試題分析：（1）根據菱形的性質以及相似三角形的判定得出△BFH∽△DGF，即可得出答案；

（2）利用已知以及平行線的性質證明△ABF≌△ADG，即可得出FD+DG的關系．

試題解析：（1）∵將菱形紙片AB（E）CD（F）沿對角線BD（EF）剪開，

∴∠B=∠D，

∵將△ECF的頂點F固定在△ABD的BD邊上的中點處，△ECF繞點F在BD邊上方左右旋轉，

∴BF=DF，

∵∠HFG=∠B，

又∵∠HFD=∠HFG+∠GFD=∠B+∠BHF

∴∠GFD=∠BHF，

∴△BFH∽△DGF，

∴，

∴BHGD=BF2；

（2）∵AG∥CE，

∴∠FAG=∠C，

∵∠CFE=∠CEF，

∴∠AGF=∠CFE，

∴AF=AG，

∵∠BAD=∠C，

∴∠BAF=∠DAG，

又∵AB=AD，

∴△ABF≌△ADG，

∴FB=DG，

∴FD+DG=BD，

故答案為：BD．