Question

【題目】問題提出

(1)如圖1，將直角三角板的直角頂點P放在正方形ABCD的對角線AC上，一條直角邊經過點B，另一條直角邊交邊DC于點E，線段PB和線段PE相等嗎？請證明；

問題探究

(2)如圖2，移動三角板，使三角板的直角頂點P在對角線AC上，一條直角邊經過點B，另一條直角邊交DC的延長線于點E，(1)中的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

問題解決

(3)繼續移動三角板，使三角板的直角頂點P在對角線AC上，一條直角邊經過點B，另一條直角邊交DC的延長線于點E，(1)中的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

　

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）PB＝PE還成立(3) PB＝PE還成立

【解析】試題分析：（1）根據正方形的性質得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，而PM⊥CD，則四邊形PMCN是矩形，根據角平分線的性質可得PM=PN，根據四邊形的內角和得到∠PBC+∠CEP=180°，再利用等角的補角相等得到∠PBM=∠PEN，然后根據AAS證明△PBM≌△PEN，則可證明；

（2）連接PD，根據正方形的性質和角平分線的性質，由“SAS”以及四邊形的內角和得證；

（3）過點P作PM⊥BC，PN⊥CD，然后根據角平分線的性質和正方形的性質，由“AAS”可證.

試題解析：(1)如圖1，過點P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分別為M，N，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四邊形PMCN為正方形，PM＝PN，∵∠BPE＝90°，∠BCD＝90°，∴∠PBC＋∠CEP＝180°，而∠CEP＋∠PEN＝180°，∴∠PBM＝∠PEN，在△PBM和△PEN中， ∴△PBM≌△PEN(AAS)，∴PB＝PE　(2)如圖2，PB＝PE還成立．理由如下：過點P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分別為M，N，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四邊形PMCN為正方形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°，∵∠BPE＝90°，∠BCD＝90°，∴∠BPM＋∠MPE＝90°，而∠MPE＋∠EPN＝90°，∴∠BPM＝∠EPN，在△PBM和△PEN中， ∴△PBM≌△PEN(ASA)，∴PB＝PE　(3)如圖3，PB＝PE還成立．理由如下：過點P作PM⊥BC交BC的延長線于點M，PN⊥CD的延長線于點N，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四邊形PMCN為正方形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°，∵∠BPE＝90°，∠BCD＝90°，∴∠BPM＋∠BPN＝90°，而∠BPN＋∠EPN＝90°，∴∠BPM＝∠EPN，在△PBM和△PEN中， ∴△PBM≌△PEN(ASA)，∴PB＝PE