Question

【題目】數學活動﹣旋轉變換

（1）如圖①，在△ABC中，∠ABC=130°，將△ABC繞點C逆時針旋轉50°得到△A′B′C，連接BB′，求∠A′B′B的大小；

（2）如圖②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，將△ABC繞點C逆時針旋轉60°得到△A′B′C，連接BB′，以A′為圓心，A′B′長為半徑作圓．

（Ⅰ）猜想：直線BB′與⊙A′的位置關系，并證明你的結論；

（Ⅱ）連接A′B，求線段A′B的長度；

（3）如圖③，在△ABC中，∠ABC=α（90°＜α＜180°），AB=m，BC=n，將△ABC繞點C逆時針旋轉2β角度（0°＜2β＜180°）得到△A′B′C，連接A′B和BB′，以A′為圓心，A′B′長為半徑作圓，問：角α與角β滿足什么條件時，直線BB′與⊙A′相切，請說明理由，并求此條件下線段A′B的長度（結果用角α或角β的三角函數及字母m、n所組成的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）65°；（2）切線；證明過程見解析；；（3）當α+β=180°時，直線BB′、是⊙A′的切線；

【解析】

試題分析：（1）根據∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C，只要求出∠A′B′B即可；（2）（Ⅰ）結論：直線BB′、是⊙A′的切線．只要證明∠A′B′B=90°即可．（Ⅱ）在RT△ABB′中，利用勾股定理計算即可；（3）如圖③中，當α+β=180°時，直線BB′、是⊙A′的切線．只要證明∠A′B′B=90°即可解決問題．在△CBB′中求出BB′，再在RT△A′B′B中利用勾股定理即可．

試題解析：（1）如圖①中，∵△A′B′C是由△ABC旋轉得到， ∴∠A′B′C=∠ABC=130°，CB=CB′，

∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=50°， ∴∠CBB′=∠CB′B=65°，

∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=65°．

（2）（Ⅰ）結論：直線BB′、是⊙A′的切線．

理由：如圖②中，∵∠A′B′C=∠ABC=150°，CB=CB′， ∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=60°，

∴∠CBB′=∠CB′B=60°， ∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=90°． ∴AB′⊥BB′，

∴直線BB′、是⊙A′的切線．

（Ⅱ）∵在RT△ABB′中，∵∠AB′B=90°，BB′=BC=5，AB′=AB=3，

∴A′B==．

（3）如圖③中，當α+β=180°時，直線BB′、是⊙A′的切線．

理由：∵∠A′B′C=∠ABC=α，CB=CB′， ∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=2β，

∴∠CBB′=∠CB′B=， ∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=α﹣90°+β=180°﹣90°=90°．

∴AB′⊥BB′， ∴直線BB′、是⊙A′的切線． 在△CBB′中∵CB=CB′=n，∠BCB′=2β，

∴BB′=2nsinβ， 在RT△A′BB′中，A′B==．