Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，OD垂直于弦AC于點E，且交⊙O于點D，F是BA延長線上一點，若∠CDB＝∠BFD.

(1)求證：FD是⊙O的切線；

(2)若⊙O的半徑為5，sinF＝，求DF的長。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】分析：（1）利用圓周角定理以及平行線的判定得出∠FDO=90°，進而得出答案；

（2）利用垂徑定理得出AE的長，再利用相似三角形的判定與性質得出FD的長．

詳解：（1）證明：∵∠CDB＝∠CAB,∠CDB＝∠BFD,

∴∠CAB＝∠BFD,

∴FD∥AC

∵∠AEO＝90° ∴∠FDO＝90°

∴FD是⊙O的切線；

(2)解：∵AE∥FD,AO＝BO＝5,

sinF＝ sin∠ACB＝

∴AB＝10,AC＝8,

∵DO⊥AC ∴AE＝EC＝4,AO＝5

∴EO＝3

∵AE∥DF ∴△AEO∽△FDO

∴＝，∴＝，

∴FD＝.