Question

【題目】如圖，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點，連接PM，PN，則下列結論：①PM=PN；② ；③△PMN為等邊三角形；④當∠ABC=45°時，BN= PC．其中正確的個數是（ ）
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①∵BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點， ∴PM= BC，PN= BC，
∴PM=PN，正確；
②在△ABM與△ACN中，
∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，
∴△ABM∽△ACN，
∴ ，正確；
③∵∠A=60°，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，
∴∠ABM=∠ACN=30°，
在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，
∵點P是BC的中點，BM⊥AC，CN⊥AB，
∴PM=PN=PB=PC，
∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，
∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等邊三角形，正確；
④當∠ABC=45°時，∵CN⊥AB于點N，
∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，
∴BN=CN，
∵P為BC邊的中點，
∴PN⊥BC，△BPN為等腰直角三角形
∴BN= PB= PC，正確．
故選D．

【考點精析】通過靈活運用等邊三角形的判定和直角三角形斜邊上的中線，掌握三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可以解答此題．