Question

【題目】如圖1，OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA＝5，OC＝4．在OC邊上取一點D，將紙片沿AD翻折，使點O落在BC邊上的點E處，邊AE上有一動點P（不與A，E重合）自A點沿AE方向向E點勻速運動，運動的速度為每秒1個單位長度，設運動的時間為t秒（0＜t＜5），過P點作ED的平行線交AD于點M，過點M作AE的平行線交DE于點N．

（1）直接寫出D，E兩點的坐標，D（　 　），E（　 　），直接判斷四邊形NMPE的形狀為　 　；

（2）當t為何值時，四邊形NMPE是正方形？

（3）當t為何值時，以A，M，E為頂點的三角形為等腰三角形，并求出相應的時刻點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（0，），（2，4），矩形；（2）t＝；（3）t＝或t＝2．

【解析】

（1）根據折疊的性質可知：AE＝OA，OD＝DE，那么可在直角三角形ABE中，用勾股定理求出BE的長，進而可求出CE的長，也就得出了E點的坐標．在直角三角形CDE中，CE長已經求出，CD＝OC﹣OD＝4﹣OD，DE＝OD，用勾股定理即可求出OD的長，也就求出了D點的坐標；

（2）根據四邊形PMNE是個矩形，可用時間t表示出AP，PE的長，然后根據相似三角形APM和AED求出PM的長，根據正方形的性質列方程即可得到結論；

（3）本題要分三種情況進行討論：（Ⅰ）ME＝MA時，此時MP為三角形ADE的中位線，那么AP＝ ，據此可求出t的值，過M作MF⊥OA于F，那么MF也是三角形AOD的中位線，M點的橫坐標為A點橫坐標的一半，縱坐標為D點縱坐標的一半．由此可求出M的坐標．

（Ⅱ）當MA＝AE時，先在直角三角形OAD中求出斜邊AD的長，然后根據相似三角形AMP和ADE來求出AP，MP的長，也就能求出t的值．根據折疊的性質，此時AF＝AP，MF＝MP，也就求出了M的坐標；

（Ⅲ）EM＝EA的情況不成立．

解：（1）依題意可知，折痕AD是四邊形OAED的對稱軸，

∵在Rt△ABE中，AE＝AO＝5，AB＝4，BE＝ ＝3，

∴CE＝2，

∴E點坐標為（2，4），

在Rt△DCE中，DC2+CE2＝DE2，

又∵DE＝OD，

∴（4﹣OD）2+22＝OD2，

解得：OD＝ ．

∴D點坐標為（0，）．

∵PM∥DE，MN∥EP，

∴四邊形NMPE為平行四邊形．

又∵∠DEA＝90°，

∴四邊形PMNE為矩形；

故答案為：（0，），（2，4），矩形；

（2）∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED．

∴ ＝ ，

∴PM＝ ．

又∵AP＝t，ED＝ ，AE＝5，

∴PM＝ ＝ ，

當PM＝PE時，四邊形NMPE是正方形，

即＝5﹣t，

解得：t＝ ，

當t＝時，四邊形NMPE是正方形；

（3）（Ⅰ）若以AE為等腰三角形的底，則ME＝MA（如圖①）

在Rt△AED中，ME＝MA，

∵PM⊥AE，

∴P為AE的中點，

∴t＝AP＝ AE＝ ，

又∵PM∥ED，

∴M為AD的中點，

過點M作MF⊥OA，垂足為F，則MF是△OAD的中位線，

∴MF＝OD＝ ，OF＝OA＝ ，

∴當t＝時，（0＜＜5），△AME為等腰三角形，

此時M點坐標為（， ）；

（Ⅱ）若以AE為等腰三角形的腰，則AM＝AE＝5（如圖②）

在Rt△AOD中，AD＝ ＝ ＝ ，

過點M作MF⊥OA，垂足為F，

∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED，

∴，

∴t＝AP＝ ，

∴PM＝ t＝ ，

∴MF＝MP＝，OF＝OA﹣AF＝OA﹣AP＝5﹣2，

∴當t＝2時，（0＜2＜5），此時M點坐標為（5﹣2，）

（Ⅲ）根據圖形可知EM＝EA的情況不成立，

綜合綜上所述，當t＝ 或t＝2時，以A，M，E為頂點的三角形為等腰三角形，相應M點的坐標為（， ）或（5﹣2，）．