Question

【題目】如圖，點的坐標為，軸，垂足為，軸，垂足為，點分別是射線、上的動點，且點不與點、重合，.

（1）如圖1，當點在線段上時，求的周長；

（2）如圖2，當點在線段的延長線上時，設的面積為，的面積為，請猜想與之間的等量關系，并證明你的猜想.

Answer 1

【答案】（1）12；（2）2S1=36 +S2.

【解析】

(1)根據已知條件證得四邊形ABOC是正方形，在點B左側取點G，連接AG，使AG=AE，利用HL證得Rt△ABG≌Rt△ACE，得到∠GAB=∠EAC,GB=CE，再利用證得△GAD≌△EAD，得到DE=GB+BD，由此求得的周長；

(2) 在OB上取點F，使AF=AE，根據HL證明Rt△ABF≌Rt△ACE，得到∠FAE=∠ABC=90，再證明△ADE≌△ADF，利用面積相加關系得到四邊形AEDF的面積=S△ACE+S四邊形ACOF+S△ODE，根據三角形全等的性質得到2S△ADE=S正方形ABOC+S△ODE，即可得到2S△ADE=36 +S△ODE.

(1)∵點的坐標為，軸，軸，

∴AB=BO=AC=OC=6,

∴四邊形ABOC是菱形，

∵∠BOC=90，

∴四邊形ABOC是正方形，

在點B左側取點G，連接AG，使AG=AE，

∵四邊形ABOC是正方形，

∴AB=AC，∠ABG=∠ACE=90，

∴Rt△ABG≌Rt△ACE，

∴∠GAB=∠EAC,GB=CE，

∵∠BAE+∠EAC=90，

∴∠GAB+∠BAE=90，

即∠GAE=90，

∵

∴∠GAD=,

又∵AD=AD,AG=AE，

∴△GAD≌△EAD，

∴DE=GD=GB+BD,

∴的周長=DE+OD+OE=GB+BD+OD+OE=OB+OC=6+6=12

(2) 2S1=36 +S2，理由如下：

在OB上取點F，使AF=AE，

∵AB=AC，∠ABF=∠ACE=90，

∴Rt△ABF≌Rt△ACE，

∴∠BAF=∠CAE,

∴∠FAE=∠ABC=90，

∵∠DAE=45，

∴∠DAF=∠DAE=45，

∵AD=AD，

∴△ADE≌△ADF，

∵四邊形AEDF的面積=S△ACE+S四邊形ACOF+S△ODE，

∴2S△ADE=S正方形ABOC+S△ODE，

∴2S△ADE=36 +S△ODE

.即：2S1=36 +S2