Question

【題目】如圖，已知梯形ABCD中，ADBC，AC、BD相交于點O，AB⊥AC，AD=CD，AB=3，BC=5．求：
（1）tan∠ACD的值；
（2）梯形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：作DE∥AB交BC于E，交AC于M，如圖所示：

∵AB⊥AC，DE∥AB，

∴DE⊥AC，

∵AD=CD，

∴AM=CM，

∵AD∥BC，DE∥AB，

∴四邊形ABED是平行四邊形，

∴DE=AB=3，

在Rt△ABC中，AC= = =4，

∴AM=CM=2，

∵AD∥BC，

∴DM：EM=AM：CM=1：1，

∴DM=EM= DE= ，

∴tan∠ACD= = = ；

（2）解：梯形ABCD的面積=△ABC的面積+△ACD的面積= ×3×4+ ×4× =9．

【解析】（1）作DE∥AB交BC于E，交AC于M，證出DE⊥AC，由等腰三角形的性質得出AM=CM，證明四邊形ABED是平行四邊形，得出DE=AB=3，在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC=4，得出AM=CM=2，由平行線分線段成比例定理得出DM=EM= DE= ，即可求出tan∠ACD= = ；（2）梯形ABCD的面積=△ABC的面積+△ACD的面積，即可得出答案．
【考點精析】通過靈活運用梯形的定義和解直角三角形，掌握一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形是梯形．兩腰相等的梯形是等腰梯形；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)即可以解答此題．