Question

【題目】如圖，AB為⊙O直徑，C是⊙O上一點，CO⊥AB于點O，弦CD與AB交于點F，過點D作∠CDE，使∠CDE=∠DFE，交AB的延長線于點E．過點A作⊙O的切線交ED的延長線于點G．

（1）求證：GE是⊙O的切線；

（2）若OF：OB=1：3，求AG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AG=6．

【解析】

試題分析：（1）連接OD，進而利用等腰三角形的性質以及切線的性質得出∠CDO+∠CDE=90°，進而得出答案；

（2）首先利用勾股定理得出DE的長，再利用相似三角形的判定與性質得出AG的長．

（1）證明：連接OD．

∵OC=OD，

∴∠C=∠ODC，

∵OC⊥AB，

∴∠COF=90°

∴∠OCD+∠CFO=90°，

∴∠ODC+∠CFO=90°，

∵∠EFD=∠FDE，

∠EFD=∠CDE，

∴∠CDO+∠CDE=90°，

∴DE為⊙O的切線；

（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，

∴OF=1，

∵∠EFD=∠EDF，

∴EF=ED，

在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，則EF=x，OE=1+x，

∵OD2+DE2=EO2，

∴32+x2=（x+1）2，

解得：x=4，

∴DE=4，OE=5，

∵AG為⊙O的切線，

∴AG⊥AE，

∴∠GAE=90°，

∵∠OED=∠GEA，

∴Rt△EOD∽Rt△EGA，

∴==，

即=，

解得：AG=6．