Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3經過點B（﹣1，0）、C（3，0），交y軸于點A，將線段OB繞點O順時針旋轉90°，點B的對應點為點M，過點A的直線與x軸交于點D（4，0）．直角梯形EFGH的上底EF與線段CD重合，∠FEH=90°，EF∥HG，EF=EH=1．直角梯形EFGH從點D開始，沿射線DA方向勻速運動，運動的速度為1個長度單位/秒，在運動過程中腰FG與直線AD始終重合，設運動時間為t秒．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）當t為何值時，以M、O、H、E為頂點的四邊形是特殊的平行四邊形；
（3）作點A關于拋物線對稱軸的對稱點A′，直線HG與對稱軸交于點K，當t為何值時，以A、A′、G、K為頂點的四邊形為平行四邊形？請直接寫出符合條件的t值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+3經過點B（﹣1，0）、C（3，0），

∴ ，解得a=﹣1，b=2，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+3．

（2）

解：在直角梯形EFGH運動的過程中：

①四邊形MOHE構成矩形的情形，如答圖1所示：

此時邊GH落在x軸上時，點G與點D重合．

由題意可知，EH，MO均與x軸垂直，且EH=MO=1，則此時四邊形MOHE構成矩形．此時直角梯形EFGH平移的距離即為線段DF的長度．

過點F作FN⊥x軸于點N，則有FN=EH=1，FN∥y軸，

∴ ，即 ，解得DN= ．

在Rt△DFN中，由勾股定理得：DF= = = ，

∴t= ；

②四邊形MOHE構成正方形的情形．

由答圖1可知，

OH=OD﹣DN﹣HN=4﹣ ﹣1= ，即OH≠MO，

所以此種情形不存在；

③四邊形MOHE構成菱形的情形，如答圖2所示：

過點F作FN⊥x軸于點N，交GH于點T，過點H作HR⊥x軸于點R．易知FN∥y軸，RN=EF=FT=1，HR=TN．

設HR=x，則FN=FT+TN=FT+HR=1+x；

∵FN∥y軸，∴ ，即 ，解得DN= （1+x）．

∴OR=OD﹣RN﹣DN=4﹣1﹣ （1+x）= ﹣ x．

若四邊形MOHE構成菱形，則OH=EH=1，

在Rt△ORH中，由勾股定理得：OR2+HR2=OH2，

即：（ ﹣ x）2+x2=12，解得x= ，

∴FN=1+x= ，DN= （1+x）= ．

在Rt△DFN中，由勾股定理得：DF= = =3．

由此可見，四邊形MOHE構成菱形的情形存在，此時直角梯形EFGH平移的距離即為線段DF的長度，

∴t=3．

綜上所述，當t= s時，四邊形MOHE構成矩形；當t=3s時，四邊形MOHE構成菱形

（3）

解：當t= s或t= s時，以A、A′、G、K為頂點的四邊形為平行四邊形．

簡答如下：（注：本題并無要求寫出解題過程，以下僅作參考）

由題意可知，AA′=2．以A、A′、G、K為頂點的四邊形為平行四邊形，則GK∥AA′，且GK=AA′=2．

①當直角梯形位于△OAD內部時，如答圖3所示：

過點H作HS⊥y軸于點S，由對稱軸為x=1可得KS=1，∴SG=KS+GK=3．

由SG∥x軸，得 ，求得AS= ，∴OS=OA﹣AS= ，

∴FN=FT+TN=FT+OS= ，易知DN= FN= ，

在Rt△FND中，由勾股定理求得DF= ；

②當直角梯形位于△OAD外部時，如答圖4所示：

設GK與y軸交于點S，則GS=SK=1，AS= ，OS=OA+AS= ．

過點F作FN⊥x軸，交GH于點T，則FN=FT+NT=FT+OS= ．

在Rt△FGT中，FT=1，則TG= ，FG= ．

由TG∥x軸，∴ ，解得DF= ．

由于在以上兩種情形中，直角梯形EFGH平移的距離均為線段DF的長度，則綜上所述，當t= s或t= s時，以A、A′、G、K為頂點的四邊形為平行四邊形．

【解析】（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；（2）在直角梯形的平移過程中，四邊形MOHE可能構成矩形（如答圖1所示），或菱形（如答圖2所示）；本問有兩種情形，需要分類求解，注意不要漏解，而且需要排除正方形的情形；（3）本問亦有兩種情形，需要分類求解．當直角梯形運動到△OAD內部的情形時，如答圖3所示；當直角梯形運動到△OAD外部的情形時，如答圖4所示．