Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣ x2+mx+n的圖象經過點A（2，3），對稱軸為直線x=1，一次函數y=kx+b的圖象經過點A，交x軸于點P，交拋物線于另一點B，點A、B位于點P的同側．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若PA：PB=3：1，求一次函數的解析式；

（3）在（2）的條件下，當k＞0時，拋物線的對稱軸上是否存在點C，使得⊙C同時與x軸和直線AP都相切，如果存在，請求出點C的坐標，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣ x2+ x+3;(2) y= x+2;(3) 存在,點C的坐標為（1，5 ﹣10）或（1，﹣5 ﹣10）．

【解析】試題分析: （1）根據拋物線的對稱軸為x=1可求出m的值，再將點A的坐標代入拋物線的解析式中求出n值，此題得解；

（2）根據P、A、B三點共線以及PA：PB=3：1結合點A的坐標即可得出點B的縱坐標，將其代入拋物線解析式中即可求出點B的坐標，再根據點A、B的坐標利用待定系數法即可求出直線AP的解析式；

（3）假設存在，設出點C的坐標，依照題意畫出圖形，根據角的計算找出∠DCF=∠EPF，再通過解直角三角形找出關于r的一元一次方程，解方程求出r值，將其代入點C的坐標中即可得出結論．

試題解析:

解：（1）∵拋物線的對稱軸為x=1，

∴﹣ =1，解得：m= ．

將點A（2，3）代入y=﹣ x2+ x+n中，

3=﹣1+1+n，解得：n=3，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+3．

（2）∵P、A、B三點共線，PA：PB=3：1，且點A、B位于點P的同側，

∴yA﹣yP=3yB﹣yP，

又∵點P為x軸上的點，點A（2，3），

∴yB=1．

當y=1時，有﹣x2+x+3=1，

解得：x1=﹣2，x2=4（舍去），

∴點B的坐標為（﹣2，1）．

將點A（2，3）、B（﹣2，1）代入y=kx+b中，

，解得： ，

∴一次函數的解析式y= x+2．

（3）假設存在，設點C的坐標為（1，r）．

∵k＞0，

∴直線AP的解析式為y=x+2．

當y=0時， x+2=0，

解得：x=﹣4，

∴點P的坐標為（﹣4，0），

當x=1時，y= ，

∴點D的坐標為（1， ）．

令⊙與直線AP的切點為F，與x軸的切點為E，拋物線的對稱軸與直線AP的交點為D，連接CF，如圖所示．

∵∠PFC=∠PEC=90°，∠EPF+∠ECF=∠DCF+∠ECF=180°，

∴∠DCF=∠EPF．

在Rt△CDF中，tan∠DCF=tan∠EPF= ，CD= ﹣r，

∴CD= CF= |r|= ﹣r，

解得：r=5 ﹣10或r=﹣5 ﹣10．

故當k＞0時，拋物線的對稱軸上存在點C，使得⊙C同時與x軸和直線AP都相切，點C的坐標為（1，5 ﹣10）或（1，﹣5 ﹣10）．