Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經過A（3，0）、B（4，1）兩點，且與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖（1），設拋物線與x軸的另一個交點為D，在拋物線的對稱軸上找一點H，使△CDH的周長最小，求出H點的坐標并求出最小周長值．

（3）如圖（2），連接AC，E為線段AC上任意一點（不與A、C重合），經過A、E、O三點的圓交直線AB于點F，當△OEF的面積取得最小值時，求面積的最小值及E點坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：將點A（3，0），B（4，1）代入可得：

，

解得： ，

故函數解析式為y= x2﹣ x+3

（2）解：如圖1中，連接DC、AC，AC交對稱軸于H，連接DH，此時△CDH的周長最小．

∵A、D關于對稱軸對稱，HD=HA，x

∴DH+CH=AC= =5，CD= = ，

∴△CDH的周長的最小值為5+ ，

∵A（3，0），C（3，0），

∴直線AC的解析式為y=﹣x+3，

∴H（ ， ）

（3）解：如圖2中，作BD⊥OA于D．

∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），

∴OA=OC=3，AD=BD=1，

∴∠OAC=∠BAD=45°，

∵∠OAF=∠BAD=45°，

∴∠EAF=90°，

∴EF是△AEO的外接圓的直徑，

∴∠EOF=90°，

∴∠EFO=∠EAO=45°，

∴△EOF是等腰直角三角形，

∴當OE最小時，△EOF的面積最小，

∵OE⊥AC時，OE最小，OC=OA，

∴CE=AE，OE= AC= ，

∴E（ ， ），S△EOF= = ．

∴當△OEF的面積取得最小值時，面積的最小值為 ，E點坐標（ ， ）

【解析】（1）把點A（3，0），B（4，1）的坐標代入拋物線解析式，利用待定系數法求二次函數解析式；（2）如圖1中，連接DC、AC，AC交對稱軸于H，連接DH，此時△CDH的周長最小．（3）如圖2中，作BD⊥OA于D．首先證明△EOF是等腰直角三角形，當OE⊥AC時，△EOF的面積最小．