Question

【題目】如圖1，正方形ABCD中，點O是對角線AC的中點，點P是線段AO上（不與A、O重合）的一個動點，過點P作PE⊥PB且PE交邊CD于點E．

（1）求證：PB＝PE；

（2）過點E作EF⊥AC于點F，如圖2．若正方形ABCD的邊長為2，則在點P運動的過程中，PF的長度是否發生變化？若不變，請直接寫出這個不變的值；若變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】試題分析：（1）如圖1，連接PD，可根據正方形的性質和全等三角形的判定可證△BCP≌△DCP，然后由全等三角形的性質得到PD=PB，然后可根據垂直證得∠PDC＝∠PDE，從而得證；

（2）根據圖形的變化，可知結論不發生變化，然后由（1）的結論，根據勾股定理可求解.

試題解析：（1）如圖1，連接PD．∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC＝DC，∠BCA＝∠DCA，∠BCD＝90°．

又∵PC＝PC，

∴△BCP≌△DCP．

∴PB＝PD，∠PBC＝∠PDC．

∵PB⊥PE，

∴∠BPE＝90°．

∴在四邊形BCEP中，∠PBC＋∠PEC＝360°－∠BPE－∠BCE＝180°．

又∵∠PED＋∠PEC＝180°，

∴∠PBC＝∠PED．

∴∠PDC＝∠PDE．

∴PD＝PE．

∴PB＝PE．

（2）的長度不發生變化，PF＝．

（提示：連接OB，證明△PEF≌△BPO．說明：答案寫成、等沒有化簡的形式均不扣分）