Question

【題目】如圖，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C為它們的公共直角頂點，連AD，BE，F為線段AD的中點，連接CF

（1）如圖1，當D點在BC上時，求證：①BE=2CF，②BE⊥CF．
（2）如圖2，把△DEC繞C點順時針旋轉一個銳角，其他條件不變，問（1）中的關系是否仍然成立？如果成立請證明．如果不成立，請寫出相應的正確的結論并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：

①∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，

∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=90°，

在△BCE和△ACD中

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴BE=AD，∠EBC=∠DAC，

∵F為線段AD的中點，

∴CF=AF=DF= AD

∴BE=2CF；

②∵AF=CF，

∴∠DAC=∠FCA，

∵∠BCF+∠ACF=90°，

∴∠BCF+∠EBC=90°，

即BE⊥CF；

（2）

證明：旋轉一個銳角后，（1）中的關系依然成立．

證明：如圖2，延長CF到M，使FM=FC，連接AM，DM，

又AF=DF，

∴四邊形AMDC為平行四邊形

∴AM=CD=CE，∠MAC=180°﹣∠ACD，

∠BCE=∠BCA+∠DCE﹣∠ACD=180°﹣∠ACD，

即∠MAC=∠BCE，

在△MAC和△ECB中

∴△MAC≌△ECB（SAS），

∴CM=BE；∠ACM=∠CBE，

∴BE=CM=2CF；

∴∠CBE+∠BCM=∠ACM+∠BCM=90°，

即BE⊥CF．

【解析】（1）①由條件可證明Rt△ADC≌Rt△BEC，可證得BE=AD，再利用直角三角形的性質可證明BE=2CF；②由直角三角形的性質可得CF=DF，可證明∠FCD=∠ADC，可證得∠EBC+∠FCD=90°，可證明結論；（2）延長CF到M，使FM=FC，連接AM，DM，可證明四邊形ACDM為平行四邊形，進一步可證明△MAC≌△ECB，則可得MC=BE，可證得BE=2CF，再結合∠ACB=90°，可證明BE⊥CF．
【考點精析】利用等腰直角三角形對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°．