Question

【題目】在菱形ABCD中，∠ABC=60°，點P是射線BD上一動點，以AP為邊向右側作等邊△APE，點E的位置隨點P的位置變化而變化．

（1）如圖1，當點E在菱形ABCD內部或邊上時，連接CE，BP與CE的數量關系是_________，CE與AD的位置關系是____________________；

（2）當點E在菱形ABCD外部時，（1）中的結論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由（選擇圖2，圖3中的一種情況予以證明或說理）．

（3）如圖4，當點P在線段BD的延長線上時，連接BE，若，求四邊形ADPE的面積．

Answer 1

【答案】（1）BP=CE，CE⊥AD；（2）成立；（3）．

【解析】

（1）如圖1中，結論：PB=EC，CE⊥AD．連接AC，想辦法證明△BAP≌△CAE即可解決問題；

（2）結論仍然成立．證明方法類似；

（3）首先證明△BAP≌△CAE，解直角三角形求出AP，DP，OA即可解決問題．

（1）如圖1中，結論：PB=EC，CE⊥AD．

理由：連接AC，延長CE交AD于H．

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，∠ABD=∠CBD=30°．

又∵△APE是等邊三角形，∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，∴△BAP≌△CAE，∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30°．

∵∠CAH=60°，∴∠CAH+∠ACH=90°，∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．

故答案為：PB=EC，CE⊥AD．

（2）結論仍然成立．理由：如圖2，連接AC交BD于O，設CE交AD于H．

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，∠ABD=∠CBD=30°．

又∵△APE是等邊三角形，∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，∴△BAP≌△CAE，∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30°．

∵∠CAH=60°，∴∠CAH+∠ACH=90°，∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．

如圖3，連接AC交BD于O，設CE交AD于H．

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，∠ABD=∠CBD=30°．

∵△APE是等邊三角形，∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，∴△BAP≌△CAE，∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30°．

∵∠CAH=60°，∴∠CAH+∠ACH=90°，∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．

（3）由（2）可知EC⊥AD，CE=BP，在菱形ABCD中，AD∥BC，∴EC⊥BC．

∵BC=AB=2，BE=2．在Rt△BCE中，EC==8，∴BP=CE=8．

∵AC與BD是菱形的對角線，∴∠ABD=∠ABC=30°，AC⊥BD，∴BD=2BO=2ABcos30°=6，∴OA=AB=，∴BO=OD=3，∴BD=2BO=6，∴DP=BP﹣BD=8﹣6=2，∴OP=OD+DP=5．在Rt△AOP中，AP==2，∴S四邊形ADPE=S△ADP+S△AEP=×2×+×（2）2=8．