Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點和點（點在原點的左側，點在原點的右側），與軸交于點，．

（1）求該拋物線的函數解析式．

（2）如圖1，連接，點是直線上方拋物線上的點，連接，．交于點，當時，求點的坐標．

（3）如圖2，點的坐標為，點是拋物線上的點，連接，，形成的中，是否存在點，使或等于？若存在，請直接寫出符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）、、、

【解析】

（1），則：，，把、坐標代入拋物線解析式，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（2），則，即：，即可求解；

（3）分或等于兩種情況分別求解即可．

（1）∵，

∴，，

把、坐標代入拋物線得：

解得：

∴拋物線解析式為：

（2）∵，∴，即，

設：點橫坐標為，則點橫坐標為，點在直線上，

求得所在的直線表達式為：，則，

由可求得點，

把點坐標代入拋物線的解析式，解得：或，

∴點的坐標為或；

（3）①當時，

當在軸上方時，

如圖2，設交軸于點，

，，又，，

△，

，點，

直線過點、，則其解析式為：，

解方程組得：（不合題意，舍去）或，

故點的坐標為： ()；

當在軸下方時，

如圖2，過點作交于點，則，

，，，

，

直線可以看成直線平移而得，其值為，

則其直線表達式為：，

設點，過點作軸交于點，作于點，

則點，，

，則，

即：，

解得：，則點，

則直線的表達式為：，

解方程組得：（不合題意，舍去）或，

故點的坐標為： ；

②當時，

當在上方時，如圖3，點為圖2所求，

設交于點，

，，

，

由①知，直線的表達式為：，

設點，，

由，同理可得：，

故點，則直線的表達式為：，

解方程組

得：（不合題意，舍去）或，

故點的坐標為： ；

當在下方時，

同理可得：（舍去負值），

故點．

故點的坐標為：、、、．