Question

【題目】已知a，b，c為正數，滿足如下兩個條件：a+b+c=32 ①② 是否存在以 為三邊長的三角形？如果存在，求出三角形的最大內角．

Answer 1

【答案】以 ,, 為三邊長可構成一個直角三角形，它的最大內角為90°

【解析】試題分析：兩個方程，有三個未知量，不能解出具體數值，但是能求出a,b,c關系，本題利用代入，因式分解，求出a,b,c關系.

試題解析：

解法1：將①②兩式相乘，得.

即： =0,

即 =0,

=0,

即 ,

即 ,

即 ,

所以b﹣c+a=0或c+a﹣b=0或c﹣a+b=0，

即b+a=c或c+a=b或c+b=a ．

因此，以， ， 為三邊長可構成一個直角三角形，它的最大內角為90°．

解法2：結合①式，由②式可得得 1024-2(a2+b2+c2)= ,

又由①式得（a+b+c）2=1024，即a2+b2+c2=1024﹣2（ab+bc+ca），

代入③式，得 1024-2[1024-2(ab+bc+ca)]= ，

即abc=16（ab+bc+ca）﹣4096．

（a﹣16）（b﹣16）（c﹣16）=abc﹣16（ab+bc+ca）+256（a+b+c）﹣163=﹣4096+256×32﹣163=0，

所以a=16或b=16或c=16．

結合①式可得b+a=c或c+a=b或c+b=a ．

因此，以 ， ， 為三邊長可構成一個直角三角形，它的最大內角為90°．