Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AD上一點，PQ垂直平分BE，分別交AD、BE、BC于點P、O、Q，連接BP、EQ．

（1）求證：四邊形BPEQ是菱形；
（2）若AB=6，F為AB的中點，OF+OB=9，求PQ的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PQ垂直平分BE，

∴QB=QE，OB=OE，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠PEO=∠QBO，

在△BOQ與△EOP中，

，

∴△BOQ≌△EOP（ASA），

∴PE=QB，

又∵AD∥BC，

∴四邊形BPEQ是平行四邊形，

又∵QB=QE，

∴四邊形BPEQ是菱形；

（2）解：∵O，F分別為PQ，AB的中點，

∴AE+BE=2OF+2OB=18，

設AE=x，則BE=18﹣x，

在Rt△ABE中，62+x2=（18﹣x）2，

解得x=8，

BE=18﹣x=10，

∴OB= BE=5，

設PE=y，則AP=8﹣y，BP=PE=y，

在Rt△ABP中，62+（8﹣y）2=y2，解得y= ，

在Rt△BOP中，PO= = ，

∴PQ=2PO= ．

【解析】（1）先根據線段垂直平分線的性質證明QB=QE，由ASA證明△BOQ≌△EOP，得出PE=QB，證出四邊形ABGE是平行四邊形，得到QB=QE，再根據菱形的判定即可得出四邊形BPEQ是菱形；
（2）根據三角形中位線的性質可得AE+BE=2OF+2OB=18，設AE=x，則BE=18-x，在Rt△ABE中，根據勾股定理可得62+x2=（18-x）2，BE=10，得到OB=5，再勾股定理求出y和PO的值即可PQ的長.

【考點精析】通過靈活運用線段垂直平分線的性質和矩形的性質，掌握垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等即可以解答此題．