Question

如圖1，在平面直角坐標系中，等邊三角形ABC的兩頂點坐標分別為A（1，0），B（2，

3

），CD為△ABC的中線，⊙M與△ACD的外接圓，BC交⊙M于點N．
（1）將直線AB繞點D順時針旋轉使得到的直線l與⊙M相切，求此時的旋轉角及直線l的解析式；
（2）連接MN，試判斷MN與CD是否互相垂直平分，并說明理由；
（3）在（1）中的直線l上是否存在點P，使△PAN為直角三角形？若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．（圖2為備用圖）

Answer 1

（1）連接MD，則∠MDA=60度，當AB繞點D，順時針旋轉使得到的直線l與圓M相切時，DM⊥AB，∠MDA=90度，所以，此時的旋轉角是順時針30度．未旋轉時，點D坐標（1.5，

3

2

），可設直線與x的交點為P，那么PA=AD=1，則P（0，0），設出正比例函數解析式為y=kx，過點D，所以l的解析式為：y=

3

3

x；

（2）MN⊥CD，且與CD互相垂直平分，因為點N是BC的中點，MN是中位線，有CD⊥AB，MN∥AB，所以MN⊥CD，同時MN平分CD，同時利用MN連線與CD的交點及點C組成的兩個三角形全等，得出CD也平分了MN；

（3）第1種情況：PA⊥AN，P（

3

4

，

3

4

）；
第2種情況：PN⊥AN，P（

9

4

，

3 3

4

）；
第3種情況：PA⊥PN，以AN為直徑的圓與直線l的交點有2個，
AN=

3

，
設直線l上的點P坐標為（x，

3

3

x），則PA²+PN²=AN²=3，
N點坐標為（

5

2

，

3

2

），
（x-1）²+（

3

3

x）²+（x-

5

2

）²+（

3

3

x-

3

2

）²=3，
解得x=

6± 6

4

，這是P點的橫坐標，
∴P點縱坐標是

3

3

x．