Question

【題目】【探索新知】

己知平面上有（為大于或等于的正整數）個點， ， ， ，從第個點開始沿直線滑動到另一個點，且同時滿足以下三個條件：①每次滑動的距離都盡可能最大；②次滑動將每個點全部到達一次；③滑動次后必須回到第個點，我們稱此滑動為“完美運動”，且稱所有點為“完美運動”的滑動點，記完成個點的“完美運動”的路程之和為．

（）如圖，滑動點是邊長為的等邊三角形的三個頂點，此時=__________．

（）如圖，滑動點是邊長為、對角線（線段、）長為的正方形四個頂點，此時__________．

【深入研究】

現有個點恰好在同一直線上，相鄰兩點間距離都為．

（）如圖，當時，直線上的點分別為點、、．

為了完成“完美運動”，滑動的步驟給出如圖所示的兩種方法：

方法： ， 方法：

①其中正確的方法為（ ）．

A．方法 B．方法 C．方法和方法

②完成此“完美運動”的__________．

（）當分別取、時，對應的__________， __________．

（）若直線上有個點，請用含的代教式表示．

Answer 1

【答案】（）;（） ;（）①;②;（）， ; （）為奇數時， ； 為偶數時， ．

【解析】試題分析：（1）根據滑動點是邊長為a的等邊三角形三個頂點進行判斷即可；
（2）根據滑動點是邊長為a，對角線長為b的正方形四個頂點進行判斷即可；
（3）“完美運動”需要滿足以下三個條件：①每次滑動的距離都盡可能最大；②n次滑動將每個點全部到達一次；③滑動n次后必須回到第1個點A1，而方法2 是錯的，不滿足第①個條件；
（4）根據條件：①每次滑動的距離都盡可能最大；②n次滑動將每個點全部到達一次；③滑動n次后必須回到第1個點A1，進行計算即可得出S4=3+2+1+2=8，S5=4+3+2+1+2=12；
（5）如果有n 個點，第一次要最大，只能是從第1 個點到第n 個點，長度是n-1；第2次要最大，只能是從第n 個點到第2 個，長度是n-2；按照此規律，如果n 是奇數，則最
后到最中間的點，此點回到第1個點距離為1；如果n 為偶數，則最后到的點是+1，此點回到第1 個點距離為，據此進行計算即可．

試題解析：（）滑動點是邊長為的等邊三角形三個頂點時，滑動路線為， ．

（）滑動點是正方形四個頂點時，滑動路線是， ．

（）①方法不滿足條件②，不對，故應選，

②此時．

（）取時，滑動路線應為， ．

取時，滑動路線應為， ．

（）如果有個點，第一次要最大，只能從第個點到第個點，長度是；

第二次要最大，只能從第個點到第個，長度是，依次類推．

若為偶數，最后到中間的點為，回到第一個點距離為，此時，

．

若為奇數，最后到中間的點為，回到第一個點距離為，此時，

．