Question

在矩形ABCD中．點E為BC邊上的一動點，沿AE翻折，ABE與AFE重合，射線AF與直線CD交于點G．
（1）如圖1，消退點E為BC中點時，線段AB、AG、GD之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明；
（2）如圖2，當BE：EC=3：1時，上問中的結(jié)論是否改變？寫出證明過程；

Answer 1

（1）AG+GD=2AB．
證明：連接EG，
∵E是BC的中點，
∴BE=CE，
∵將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，
∴BE=EF，
∴EF=EC，
∵EG=EG，∠C=∠EFG=90°，
∴△ECG≌△EFG，
∴FG=CG，
∴AG=AF+FG=AB+FG，GD=DC-GC=AB-GC，
AG+GD=（AB+FG）+（AB-GC）=2AB．

（2）結(jié)論改變．
證明：過點E作EH⊥BC，分別交AG和AD于點H和I，
則HE∥GC，∠G=∠AHE，
又∠ADG=∠EFH=90°，
∴△ADG∽△EFH，
∴

AG

EH

=

AD

EF

①，
又BE：EC=3：1，
∴EH=EI+HI=AB+HI=AB+

3

4

DG，
代入①式得：

AG

AB+ 3 4 DG

=

AD

3 4 AD

，
整理得：3AG=4AB+3GD．