Question

【題目】如圖，AB 是⊙O 的直徑，點C 是⊙O 上一點，AD 與過點C的切線垂直,垂足為 D，直線 DC 與AB 的延長線相交于點P，弦CE平分∠ACB，交AB 于點F，連接BE．

求證：(1)AC 平分∠DAB；

(2)△PCF 是等腰三角形．

Answer 1

【答案】詳見解析.

【解析】試題分析：(1) AB 是⊙O 的直徑，可得OC⊥PD，又AD⊥PD，得出OC∥AD，根據平行線的性質得到∠ACO＝∠DAC，又因AO=OC,得∠ACO＝∠CAO，所以AC 平分∠DAB；（2）根據弦切角定理得∠CAO＝∠PCB，又因弦CE 平分∠ACB，所以∠ACF＝∠BCF，所以根據外角的性質得∠PFC＝∠CAO+∠ACF，∠PCF=∠PCB+∠BCF，所以∠PFC＝∠PCF. 故△PCF 是等腰三角形．

證明：（1）∵PD 切⊙O 于點C，∴OC⊥PD，

又AD⊥PD，∴OC∥AD，∴∠ACO＝∠DAC，

又OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAO，即AC 平分∠DAB．

（2）∵AD⊥PD，∴∠DAC＋∠ACD＝90°，

又AB 為⊙O 的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠PCB＋∠ACD＝90°，

∴∠DAC＝∠PCB，又∠DAC＝∠CAO，∴∠CAO＝∠PCB，

∵CE 平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF，

∴∠CAO＋∠ACF＝∠PCB＋∠BCF,

∴∠PFC＝∠PCF，∴△PCF 是等腰三角形．