Question

【題目】如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F ， 且AF＝BD ， 連接BF ．

（1）求證：BD＝CD；
（2）如果AB＝AC ， 試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）

解答：證明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵E是AD的中點，∴AE＝DE， ，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF＝DC，∵AF＝BD，∴BD＝CD．

（2）

解答：四邊形AFBD是矩形

理由：∵AB＝AC，D是BC的中點

∴AD⊥BC

∴∠ADB＝90°，

∵AF＝BD，

又∵過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，即AF∥BC

∴四邊形AFBD是平行四邊形，∴四邊形AFBD是矩形．

【解析】（1）先由AF∥BC ， 利用平行線的性質可證∠AFE＝∠DCE ， 而E是AD中點，那么AE＝DE ， ∠AEF＝∠DEC ， 利用AAS可證△AEF≌△DEC ， 那么有AF＝DC ， 又AF＝BD ， 從而有BD＝CD；（2）四邊形AFBD是矩形．由于AF平行等于BD ， 易得四邊形AFBD是平行四邊形，又AB＝AC ， BD＝CD ， 利用等腰三角形三線合一定理，可知AD⊥BC ， 即∠ADB＝90°，那么可證四邊形AFBD是矩形．
【考點精析】利用等腰三角形的性質和矩形的判定方法對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形．