Question

【題目】二次函數y= （x﹣5）（x+m）（m是常數，m＞0）的圖象與x軸交于點A和點B（點A在點B的右側）與y軸交于點C，連接AC．
（1）用含m的代數式表示點B和點C的坐標；
（2）垂直于x軸的直線l在點A與點B之間平行移動，且與拋物線和直線AC分別交于點M、N，設點M的橫坐標為t，線段MN的長為p．
①當t=2時，求p的值；
②若m≤1，則當t為何值時，p取得最大值，并求出這個最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：令y=0，得 （x﹣5）（x+m）=0，

解得x1=5，x2=﹣m，

∵m＞0，

∴﹣m＜0，

∵點A在點B的右側，

∴A（5，0），B（﹣m，0），

令x=0，得y=﹣ m，

∴C（0，﹣ m）

（2）解：①設AC的函數關系式為y=kx﹣ m，

把A（5，0）代入y=kx﹣ m，解得k= m，

∴y= mx﹣ m，

∵t=2，

∴點M的縱坐標為yM= （2﹣5）（2+m）=﹣ （2+m），

點N的縱坐標為yN= m×2﹣ m=﹣ m，

∴p=yN﹣yM=﹣ m+ （2+m）=3；

②∵點M的橫坐標為t，

∴點M的縱坐標為yM= （t﹣5）（t+m）= t2+ （m﹣5）t﹣ m，

點N的縱坐標為yN= mt﹣ m，

當0≤t≤5時，p=yN﹣yM=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣ ）2+ ，

當t= 時，p取得最大值 ，

當﹣m≤t＜0時，p=yM﹣yN= t2﹣ t= （t﹣ ）2﹣ ，

此二次函數圖象開口向上，對稱軸為直線t= ，

∴在﹣m≤t＜0時，p隨t的增大而減少，

∴當t=﹣m時，p取得最大值為 m2+ m，

設w= m2+ m，

m=﹣ m為對稱軸，

∴0＜m≤1時，w的值隨m的增大而增大，

∴m=1時，w最大值為3，

∵3＜ m，

∴當t= 時，p取得最大值為 ．

【解析】（1）縱坐標為0，橫坐標為0，將其直接代入二次函數y= （x﹣5）（x+m）即可求得坐標．（2）①求p的值，通常利用表達式表示p，此時p恰為不含字母的式子．因為t=2，此時p=yN﹣yM，這里yM為點M的縱坐標，yN為點N的縱坐標；

②求最值也要首先表示p，不過發現因為C為拋物線與直線的交點，在﹣m≤t≤0，p=yM﹣yN，當0≤t≤5時，p=yN﹣yM．如此要分開討論最值，然后再綜合在一起，討論時不要遺漏題目中關于m的限制：0＜m≤1．

【考點精析】關于本題考查的二次函數的性質，需要了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．