Question

已知：關于x的一元二次方程mx²-（2m+2）x+m-1=0
（1）若此方程有實根，求m的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，且m取最小的整數，求此時方程的兩個根；
（3）若A、B是平面直角坐標系中x軸上的兩個點，點B在點A的左側，且點A、B的橫坐l標分別是（2）中方程的兩個根，以線段AB為直徑在x軸的上方作半圓P，設直線的解析l式為y=x+b，若直線與半圓P只有兩個交點時，求出b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據根的判別式直接得出△=（2m+2）²-4m（m-1）=12m+4≥0求出即可；
（2）利用（1）中所求得出m的值，進而代入方程求出即可；
（3）①當直線l 經過原點O時與半圓P有兩個交點，即b=0，
②當直線l與半圓P相切于D點時有一個交點，如圖由題意可得Rt△EDP、Rt△ECO是等腰直角三角形，進而求出b的最值大值即可．

解答：解：（1）∵關于x的一元二次方程，m≠0，
∵關于x的一元二次方程有實根，
∴△=（2m+2）²-4m（m-1）=12m+4≥0，
解得m≥-

1

3

，
∴當m≥-

1

3

且 m≠0時此方程有實根；

（2）
∵在（1）的條件下，當m取最小的整數
∴m=1，
∴原方程化為：x²-4x=0，
x（x-4）=0，
解得：x₁=0，x₂=4；

（3）解：如圖所示：①當直線l經過原點O時與半圓P有兩個交點，即b=0，
②當直線l與半圓P相切于D點時有一個交點，
∵y=x+b，當b=0則y=x，故可得Rt△EDP、Rt△ECO是等腰直角三角形，
∵DP=2，∴EP=

22+22

=2

2

．
∴OC=2

2

-2，即b=2

2

-2，
∴當0≤b＜2

2

-2時，直線l與半圓P只有兩個交點．

點評：此題主要考查了一元二次方程根的判別式以及一元二次方程的解法和勾股定理以及切線的性質等知識，利用數形結合得出b的最值是解題關鍵．