Question

【題目】如圖1，與都是等腰直角三角形，直角邊，在同一條直線上，點、分別是斜邊、的中點，點為的中點，連接，，，，．

（1）觀察猜想：

圖1中，與的數量關系是______，位置關系是______．

（2）探究證明：

將圖1中的繞著點順時針旋轉（），得到圖2，與、分別交于點、，請判斷（1）中的結論是否成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

（3）拓展延伸：

把繞點任意旋轉，若，，請直接列式求出面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）結論仍成立，證明見解析；（3）的面積的最大值

【解析】

（1）延長AE交BD于點H，易證，得，，進而得，結合中位線的性質，得，，，，進而得，；

（2）設交于，易證，得，，進而得，結合中位線的性質，得，，，，進而得，；

（3）易證是等腰直角三角形，，當、、共線時，的值最大，進而即可求解．

（1）如圖1，延長AE交BD于點H，

∵和是等腰直角三角形，

∴，，

，

∴，

∴，

∴（SAS），

∴，，

又∵，

∴，

∵點、、分別為、、的中點，

∴，，，，

∴，

∴PM⊥AH，

∴．

故答案是：，；

（2）（1）中的結論仍成立，理由如下：

如圖②中，設交于，

∵和是等腰直角三角形，

∴，，

，

∴，

∴，

∴（SAS），

∴，

又∵，

∴，

∵點、、分別為、、的中點，

∴，，，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

（3）由（2）可知是等腰直角三角形，，

∴當的值最大時，的值最大，的面積最大，

∴當、、共線時，的最大值，

∴，

∴的面積的最大值．