Question

【題目】如圖，點A、C分別在一個含45°的直角三角板HBE的兩條直角邊BH和BE上，且BA＝BC，過點C作BE的垂線CD，過E點作EF⊥AE交∠DCE的角平分線于F點，交HE于P．

（1）試判斷△PCE的形狀，并請說明理由；

（2）若∠HAE＝120°，AB＝3，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）△PCE是等腰直角三角形（2）6

【解析】

（1）根據∠PCE＝∠DCE＝×90°＝45°，求證∠CPE＝90°，然后即可判斷三角形的形狀．

（2）根據∠HEB＝∠H＝45°得HB＝BE，再根據BA＝BC和∠HAE＝120°，利用ASA求證△HAE≌△CEF，得AE＝EF，又因為AE＝2AB．然后即可求得EF．

（1）△PCE是等腰直角三角形，

理由如下：

∵∠PCE＝∠DCE＝×90°＝45°

∠PEC＝45°

∴∠PCE＝∠PEC

∠CPE＝90°

∴△PCE是等腰直角三角形

（2）∵∠HEB＝∠H＝45°

∴HB＝BE

∵BA＝BC

∴AH＝CE

而∠HAE＝120°

∴∠BAE＝60°，∠AEB＝30°

又∵∠AEF＝90°

∴∠CEF＝120°＝∠HAE

而∠H＝∠FCE＝45°

∴△HAE≌△CEF（ASA）

∴AE＝EF

又∵AE＝2AB＝2×3＝6

∴EF＝6