Question

【題目】如圖，AD是⊙O的直徑，AB為⊙O 的弦，OP⊥AD，OP與AB的延長線交于點P．點C在OP上，且BC＝PC．

（1）求證：直線BC是⊙O的切線；

（2）若OA＝3，AB＝2，求BP的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）7.

【解析】分析：（1）連結OB．由等腰三角形的性質得到∠A=∠OBA，∠P=∠CBP，由于OP⊥AD，得到∠A+∠P=90°，于是得到∠OBA+∠CBP=90°，求得∠OBC=90°結論可得；

（2）連結DB．由AD是⊙O的直徑，得到∠ABD=90°，推出Rt△ABD∽Rt△AOP，得到比例式，即可得到結果．

詳解：（1）證明：連結OB．

∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA．

又∵BC＝PC，∴∠P＝∠CBP．

∵OP⊥AD，∴∠A＋∠P＝90°，

∴∠OBA＋∠CBP＝90°，

∴∠OBC＝180°－（∠OBA＋∠CBP）＝90°．

∵點B在⊙O上，

∴直線BC是⊙O的切線．

（2）連結DB．

∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°，

∴Rt△ABD∽Rt△AOP．

∴＝，即＝，AP＝9，

∴BP ＝AP—BA＝9—2＝7．