Question

【題目】已知∠MON = 50°，OE 平分∠MON，點A、B、C分別是射線OM、OE、ON上的動點(A、B、C不與點O重合)，連接AC交射線OE于點D、設∠OAC = x°．

（1）如圖①，若AB//ON，

①則∠ABO 的度數是________；

②當∠BAD =∠ABD 時，x=_______；當∠BAD = ∠BDA 時，x=________．

（2）如圖②，若AB⊥OE，則是否存在這樣的x值，使得 △ABD 中有一個角是另一個角的兩倍．存在，直接寫出x的值；不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①25°，②105，52.5；（2）存在，x的值為20，110，5，125，35，95．

【解析】

（1）利用角平分線的性質求出∠ABO的度數是關鍵，利用三角形的內角和定理及其推論計算求解即可．

（2）按點D在線段OB上或OB的延長線上分兩大類，再根據△ABD 中有一個角是另一個角的兩倍的三種可能性再分類，利用三角形的內角和及其推論分別求解計算即可.

解：（1）①∵∠MON=50°，OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=25°
∵AB∥ON∴∠ABO=25°

②當∠BAD=∠ABD，則∠BAD=25°

∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°

∴∠AOB+∠ABO+∠OAC+∠BAD=180°

∴∠OAC=180°-∠AOB-∠ABO-∠BAD =180°-25°-25°-25°=105°

當∠BAD=∠BDA，∵∠ABO=25°

∴∠BAD=77.5°

∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°

∴∠OAB=180°-∠ABO-∠AOB=180°-25°-25°=130°

∴∠OAC=∠OAB-∠BAD=130°-77.5°=52.5°

故答案為：①25°；②105，52.5；

（2）存在，推導如下

當點D在線段OB上時，如圖③所示：

圖③

i)當∠ABD=2∠DAB=90°時，則∠ADB=∠DAB=45°,

∵∠AOD+∠OAC=∠ADB,

∴∠OAC=∠ADB-∠AOD=45°-25°=20°,

ii)當∠ADB=2∠DAB時，∵∠ABD=90°，∴∠ADB=60°，

∵∠AOD+∠OAC=∠ADB，

∴∠OAC=∠ADB-∠AOD=60°-25°=35°，

iii) 當∠DAB=2∠ADB時, ∵∠ABD=90°，∴∠ADB=30°，

∵∠AOD+∠OAC=∠ADB，

∴∠OAC=∠ADB-∠AOD=30°-25°=5°.

當點D在線段OB延長線上時，如圖③所示：

圖③

i)當∠ABD=2∠DAB=90°時，則∠ADB=∠DAB=45°,

∵∠AOD+∠OAC+∠ADB=180°,

∴∠OAC=180°-∠AOD-∠ADB=180°-25°-45°=110°；

ii)當∠ADB=2∠DAB時，∵∠ABD=90°，∴∠ADB=60°，

∵∠AOD+∠OAC+∠ADB=180°,

∴∠OAC=180°-∠AOD-∠ADB=180°-25°-60°=95°；

iii) 當∠DAB=2∠ADB時, ∵∠ABD=90°，∴∠ADB=30°，

∵∠AOD+∠OAC+∠ADB=180°,

∴∠OAC=180°-∠AOD-∠ADB=180°-25°-30°=125°；

綜上所述，存在這樣的∠OAC，使得 △ABD 中有一個角是另一個角的兩倍，其值x

為20，110，5，125，35，95．