Question

【題目】對于平面內的點和點，給出如下定義：點為平面內的一點，若點使得是以為頂角且小于90°的等腰三角形，則稱點是點關于點的銳角等腰點．如圖，點是點關于點的銳角等腰點．在平面直角坐標系中，點是坐標原點．

（1）已知點，在點，中，是點關于點的銳角等腰點的是___________．

（2）已知點，點在直線上，若點是點關于點的銳角等腰點，求實數的取值范圍．

（3）點是軸上的動點，，點是以為圓心，2為半徑的圓上一個動點，且滿足．直線與軸和軸分別交于點，若線段上存在點關于點的銳角等腰點，請直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據等腰銳角點的定義即得；

（2）先確定極限位置：直線與圓相切于第四象限及直線過（0,3）時b的值，進而確定范圍；

（3）分類討論：E點和F點位于線段HK左側；E點和F點位于線段HK右側；利用一線三垂直模型及相似三角形的性質確定極限位置t的值，進而確定范圍．

（1）∵點P是點關于點的銳角等腰點，

∴OA=OP=2

如下圖：

當時，OP1=2，OP1⊥OA，不成立；

當時，過P2作P2M⊥x軸

∴OM=1，P2M=

∴在中，

∵

∴點是點關于點的銳角等腰點；

當時，

∴點不是點關于點的銳角等腰點；

當時，過P4作P4N⊥x軸

∴ON=，P4N=

∴在中，，

∴點是點關于點的銳角等腰點．

∴點關于點的銳角等腰點有，

故答案為：

（2）以O為圓心，OA=3為半徑作圓，當直線與圓O相切與第四象限時，切點即為點關于點的銳角等腰點，如下圖點．

由題意，得：OB=-b，OD=

∴在中，

∵

∴

解得：

如上圖：當直線過點E時，，OE⊥OA

∴要使在直線上存在點是點關于點的銳角等腰點，

綜上所述：時，直線上存在點是點關于點的銳角等腰點 ．

（3）如下圖：

當在直線左側，時，過作

∵

∴

∴

∵

∴KO=4，KH=，EH=4-t

∴EG=

∵要使線段上存在點關于點的銳角等腰點，則

∴

∴

當E點和F點位于線段HK右側時，即：時，如下圖，過E作EB⊥EF，過B作BM⊥x軸，過點F作FL⊥x軸

當時，

∴，

∵，

∴，

∴

∴

將點代入直線得：

解得：

∴當時，線段上存在點關于點的銳角等腰點．

∵，

∴，即

綜上所述：時，線段上存在點關于點的銳角等腰點