Question

【題目】已知，如圖，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD 于 M，請你通過觀察和測量，猜想線段 AB、AC 之和與線段 AM 有怎樣的數量關系，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】AB+AC=2AM．證明見解析

【解析】

根據題目提供的條件和圖形中線段的關系，做出猜想AB+AC=2AM，過點C作CE∥AB，CE與AM的延長線交于點E，進一步證明AB+AC=AB+CE=AD+ED=AE，從而得到AB+AC=2AM．

猜想：AB+AC=2AM．

證明：過點C作CE∥AB，CE與AM的延長線交于點E．
則∠ECD=∠B，∠E=∠BAD．
（兩直線平行，內錯角相等）
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．
（角平分線定義）
∴∠E=∠CAD．（等量代換）
∴AC=EC．（等角對等邊）
又CM⊥AD于M，
∴AM=ME，即AE=2AM．
（等腰三角形底邊上的高線與底邊上的中線重合）
∵AD=AB，∴∠B=∠ADB．（等邊對等角）
又∠EDC=∠ADB，（對頂角相等）∴∠ECD=∠EDC．（等量代換）
∴ED=EC．（等角對等邊）
∴AB+AC=AB+CE=AD+ED=AE．（等量代換）
∴AB+AC=2AM．