Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，坐標原點O是正方形OABC的一個頂點，已知點B坐標為（1，7），過點P（a，0）（a＞0）作PE⊥x軸，與邊OA交于點E（異于點O、A），將四邊形ABCE沿CE翻折，點A′、B′分別是點A、B的對應點，若點A′恰好落在直線PE上，則a的值等于（ ）
A.
B.
C.2
D.3

Answer 1

【答案】C
【解析】解：當點A′恰好落在直線PE上，如圖所示， 連接OB、AC，交于點D，過點D、A作x軸的垂線，垂足分別為Q、N，設CB′交x軸于M，則CM∥QD∥AN，
∵四邊形OABC是正方形，
∴OD=BD，OB⊥AC，
∵O（0，0），B（1，7），
∴D（ ， ），即DQ=
由勾股定理得：OB= = =5 ，
∵△ABO是等腰直角三角形，
∴AB=AO=5，
∵DQ是梯形CMNA的中位線，
∴CM+AN=2DQ=7，
∵∠COA=90°，
∴∠COM+∠AON=90°，
∵∠CMO=90°，
∴∠COM+∠MCO=90°，
∴∠AON=∠MCO，
∵四邊形OABC是正方形，
∴OA=OC，
∵∠CMO=∠ONA=90°，
∴△CMO≌△ONA，
∴ON=CM，
∴ON+AN=7，
設AN=x，則ON=7﹣x，
在Rt△AON中，由勾股定理得：x2+（7﹣x）2=52 ，
解得：x=3或4，
當x=4時，CM=3，
此時點B在第二象限，不符合題意，
∴x=3，
∴OM=3，
∵A′B′=PM=5，
∴OP=a=2，
故選C．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正方形的性質的相關知識，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形，以及對翻折變換（折疊問題）的理解，了解折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等．