Question

【題目】如圖，△ABC、△DEP是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠PDE=90°．

（1）若將△DEP的頂點P放在BC上（如圖1），PD、PE分別與AC、AB相交于點F、G．求證：△PBG∽△FCP；

（2）若使△DEP的頂點P與頂點A重合（如圖2），PD、PE與BC相交于點F、G．試問△PBG與△FCP還相似嗎？為什么？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）△PBG與△FCP相似

【解析】試題分析：（1）已知△ABC、△DEP是兩個全等的等腰直角三角形，即可得∠B=∠C=∠DPE=45°，∠BPG+∠CPF=135°；在△BPG中，∠B=45°，∠BPG+∠BGP=135°，由此可得∠BGP=∠CPF，再由∠B=∠C，根據兩角對應相等的兩個三角形相似即可得△PBG∽△FCP；（2）△PBG與△FCP相似，由△ABC、△DEP是兩個全等的等腰直角三角形，可得∠B=∠C=∠DPE=45°，又因∠BGP=∠C+∠CPG=45°+∠CAG，∠CPF=∠FPG+∠CAG=45°+∠CAG，所以∠AGP=∠CPF，再由∠B=∠C，根據兩角對應相等的兩個三角形相似即可得△PBG∽△FCP．

試題解析：

（1）證明：如圖1，

∵△ABC、△DEP是兩個全等的等腰直角三角形，

∴∠B=∠C=∠DPE=45°，

∴∠BPG+∠CPF=135°，

在△BPG中，∵∠B=45°，

∴∠BPG+∠BGP=135°，

∴∠BGP=∠CPF，

∵∠B=∠C，

∴△PBG∽△FCP；

（2）△PBG與△FCP相似．理由如下：

如圖2，∵△ABC、△DEP是兩個全等的等腰直角三角形，

∴∠B=∠C=∠DPE=45°，

∵∠BGP=∠C+∠CPG=45°+∠CAG，

∠CPF=∠FPG+∠CAG=45°+∠CAG，

∴∠AGP=∠CPF，

∵∠B=∠C，

∴△PBG∽△FCP．