Question

【題目】已知：△AOB和△COD均為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．連接AD，BC，點H為BC中點，連接OH．

（1）如圖1所示，易證：OH= AD且OH⊥AD（不需證明）
（2）將△COD繞點O旋轉到圖2，圖3所示位置時，線段OH與AD又有怎樣的關系，并選擇一個圖形證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1中，

∵△OAB與△OCD為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，

∴OC=OD，OA=OB，

∵在△AOD與△BOC中，

，

∴△AOD≌△BOC（SAS），

∴∠ADO=∠BCO，∠OAD=∠OBC，

∵點H為線段BC的中點，

∴OH=HB，

∴∠OBH=∠HOB=∠OAD，

又因為∠OAD+∠ADO=90°，

所以∠ADO+∠BOH=90°，

所以OH⊥AD

（2）解：①結論：OH= AD，OH⊥AD，如圖2中，延長OH到E，使得HE=OH，連接BE，

易證△BEO≌△ODA

∴OE=AD

∴OH= OE= AD

由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO

∴∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°，

∴OH⊥AD．

②如圖3中，結論不變．延長OH到E，使得HE=OH，連接BE，延長EO交AD于G．

易證△BEO≌△ODA

∴OE=AD

∴OH= OE= AD

由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO

∴∠DAO+∠AOF=∠EOB+∠AOG=90°，

∴∠AGO=90°

∴OH⊥AD．

【解析】（2）利用第1題的解題方法，要證OH= AD即AD=2OH，因此須延長OH一倍，連結BE，構造全等三角形△BEO≌△ODA即可證得.
【考點精析】通過靈活運用等腰直角三角形和旋轉的性質，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了即可以解答此題．